¿Existe entero tal que hay suma de poderes congruente mod $p$?

Question

Que $n \in \mathbb{N}$, $p$ prime. Arbitraria $C \in \mathbb{Z}$, existen $a_1, a_2, \dots, an \in \mathbb{Z}$ tal que % $ $$C \equiv \sum{i=1}^n a_i^n \text{ }(\text{mod }p)?$

Answer 1

Sea $P_n$ el conjunto de $n$-th poderes $!!\pmod{p}$. Tenemos: %#% $ $$ |P_n|\geq 1+\frac{p-1}{n} $ #% es un grupo cíclico y $\mathbb{F}_p^*$ es siempre un poder de $0$-th. Por el Teorema de Cauchy-Davenport: $n$ $ por lo tanto, cada elemento de $$ \underbrace{\left|P_n+P_n+\ldots+Pn\right|}{n\text{ times}}\geq\min\left(p,n\cdot\left(1+\frac{p-1}{n}\right)-(n-1)\right)=p$ puede representarse como la suma de $\mathbb{Z}_{/(p\mathbb{Z})}$ %#% poderes de #%-th.

Answer 2

La expansión en Servaes comentario, podemos ofrecer una solución alternativa a la ofrecida por Jack D'Aurizio.

Vamos$$X = \{a^n\}, \text{ }kX := \{x_1 + \dots + x_k : x_i \in X\}.$$Observe that $X \setminus \{0\}$ has $(p-1)/n$ elementos.

Desde$$\{a^n\} = \{a^{\text{gcd}(n,\, p-1)}\},$$it suffices to solve the problem for $n\,\vert\,p-1$.

Si $y \in kX$, $a^ny \in kX$ cualquier $a$. Por lo $kX \setminus \{0\}$ es una unión de cosets de $X \setminus \{0\}$ en el grupo multiplicativo $\mathbb{F}_p^\times$. Por inducción, al menos $m$ cosets de $X \setminus \{0\}$$mX \setminus \{0\}$$m \le n$. Si $$mX = (m+1)X,$$then$$mX = (m+1)X = (m+2)X = \dots.$$However, $1 \en X$, so $pX$ contains all residues, which means $mX$ contains all residues, and we are done. Otherwise, $(m+1)X$ contains $1$ more coset than $mS de$.

Por último, tomamos $m = n$ al finalizar.

Answer 3

En primer lugar, se demuestra en el caso que divide a $n$ $p-1$. Considere el polinomio $$P(a_1, a_2, \dots, a_n) = (a_1^n + a_2^n + \dots + a_n^n)(a_1^n + a_2^n + \dots + a_n^n - 1) \dots (a_1^n + a_2^n + \dots + a_n^n - (C-1))(a_1^n + a_2^n + \dots + a_n^n - (C+1)) \dots (a_1^n + a_2^n + \dots + a_n^n - (p-1)).$$(We are taking $C # \text {(mod} p\text{)}$ and turning it into something from $0$ to $p-1$ antes de hacer esto.)

Tenga en cuenta que el coeficiente de $a_1^{p-1}a_2^{p-1} \dots a_n^{p-1}$ $P$ es distinto de cero, y $n(p-1)$ es el grado de $P$, así que por el Nullstellensatz combinatoria, existen enteros $m_1, m_2, \dots, m_n$ tal que $P(m_1, m_2, \dots, m_n)$ es distinto de cero modulo $p$, lo que implica que el $m_1^n + m_2^n + \dots + m_n^n$ es congruente a $C$ modulo $p$ .