Convergencia de$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{1\cdot 3\cdot \cdot \cdot (2n-3)}{2^n n!}$

Question

<blockquote> <p>Convergencia de %#% $ #%</p> </blockquote> <p>Bueno, he probado casi todo. Criterio de d ' Alembert no funciona porque el límite es 1. He probado a $$\sum_{n=2}^\infty \frac{1\cdot 3\cdot \cdot \cdot (2n-3)}{2^n n!}$ de varias maneras pero cada limite diverge. ¿Cualquier sugerencia?</p> <p>P.S: sé que esta serie <strong>converge</strong> a $\frac{1\cdot 3\cdot \cdot \cdot (2n-3)}{2^n n!}$</p>

Answer 1

Puede utilizar la prueba de Gauss (o Rabi de la prueba, el último es más débil, pero es suficiente), voy a utilizar la prueba de Gauss:

Si $u_n >0$ y satisface $$\frac{u_n}{u_{n+1}} = 1 + \frac{h}{n} + O(\frac{1}{n^r})$$ for some $r>1$, then $\sum u_n$ converges iff $h>1$.

En su caso, $$u_n = \frac{1\cdot 3\cdots (2n-3)}{2^n n!} = \frac{(2n-2)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}$$ podemos obtener fácilmente $$\frac{u_n}{u_{n+1}} = \frac{2n+2}{2n-1} = 1+\frac{3}{2n-1} = 1+\frac{3}{2n}+O(\frac{1}{n^2})$$ por lo $\sum u_n$ converge.

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Como alternativa, puede utilizar la fórmula de Stirling $$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$ pero creo que esto es una exageración.

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El valor de la suma puede ser derivada a partir de la siguiente serie (después de la integración y el cambio de términos): $$\sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}x^n = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$$

Answer 2

$$\sum{n\geq 2}\frac{(2n-3)!!}{2^n n!} = \sum{n\geq 1}\frac{(2n-1)!!}{2^{n+1}(n+1)!}=\sum{n\geq 1}\frac{(2n)!}{2^{2n+1}n!(n+1)!}=\sum{n\geq 1}\binom{2n}{n}\frac{1}{4^n(2n+2)} $ $ y desde $\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\sim\frac{1}{\sqrt{\pi n}}$, la serie dada es convergente por comparación asintótica con $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n\sqrt{n}}$, que es convergente por la prueba de % de $p$. La serie dada es igual a $\frac{1}{2}$ telescópico creativo o probabilístico argumentos: echa un vistazo a esta pregunta similar.