Cómo puede un subcampo de una extensión abelian no sean cíclicos cuando se someten a una norma como la condición. (Cómo puedo yo entender la explicación suministrada)

Question

Recientemente he publicado una pregunta en MathOverflow (si usted está interesado se puede encontrar aquí). Mientras que algunas respuestas fueron rápidamente producido hubo un par de puntos que me pareció confuso. Me pidió algunas aclaraciones, pero, lamentablemente, la MathOverflow de la comunidad ha sido un poco reticente, así que pensé que iba a tratar en un foro diferente que parece más susceptibles a las peticiones de explicaciones en relación con las soluciones.

Probablemente debería prefacio este post con la afirmación de que, mientras yo estoy bastante interesado en la teoría de los números todavía estoy aprendiendo, así que pido disculpas de antemano si esto es simplemente una cuestión trivial que estoy siendo densa acerca de.

Yo me daría por satisfecho con la aclaración de que la suministra una explicación, o una forma alternativa de pensar en el problema.

La pregunta que hago básicamente se reducía a la siguiente situación:

Considere la posibilidad de un totalmente real abelian extensión de $\mathbb{K}$ $\mathbb{Q}$ con grupo de Galois $G$, el anillo de los enteros que se denota por a $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}$, y el grupo de la unidad denota por $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}^{\times}$. Supongamos que $d_{1}\in\mathcal{O}_{\mathbb{K}}^{\times}$ $\exists \tau\in G$ tal que $\displaystyle{\prod_{a=1}^{ord(\tau)}}\tau^{a}(d_{1})=\pm1$. ¿Cómo puede ocurrir si $\mathbb{Q}\left(d_{1}\right)\neq\langle\tau\rangle$? (Como un aparte, estoy particularmente interesado en la caracterización de cuando, en todo caso, $\mathbb{Q}\left(d_{1}\right)$ puede no ser una extensión cíclica).

David Speyer fue lo suficientemente amable como para producir la novela siguiente explicación:

Deje $U$$\mathbb{R} \otimes \mathcal{O}_K^{\times}$. La prueba de la unidad de Dirichlet teorema muestra que, como una representación de $G$, $U$ es lo normal, que la representación del modulo el trivial de la representación.

La imagen de $\mathcal{O}_K^{\times}$ $U$ es un discreto entramado de rango completo y el núcleo de $\mathcal{O}_K^{\times}\to U$ es la torsión. Desde $K$ es totalmente real, la torsión es sólo $\pm 1$. Por lo tanto, una igualdad entre las unidades que tiene en $U$ también llevará a cabo a firmar en $\mathcal{O}_K^{\times}$. Deje $u$ ser la imagen de $d_1$$U$.

*La condición de que $\prod \tau^a(d_1) = \pm 1$ es entonces que el elemento $\sum \tau^a$ $\mathbb{Z}[G]$ aniquila $u$. En otras palabras, que el $U$ $0$ proyección en el $H$trivial parte de $U$. Este es un subespacio de $U$ de la dimensión de $|G|-|H|$. (corrección) $|G|-|G|/|H|$.

La condición de que $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(d_1), \mathbb{Q})$ ser generados por $\tau$ dice que el estabilizador de $d_1$, junto con $\tau$, genera $G$. Excepto en algunas dimensiones inferiores subespacios del subespacio de $U$ por encima de, $d_1$ ha trivial estabilizador. Así que, a menos que $G = \langle \tau \rangle$, esto no va a suceder.

Yo creo que el $H=\langle\tau\rangle$. Por otra parte, creo que en el último párrafo del subespacio que se hace referencia es el núcleo de la proyección sobre el $H$-subespacio invariante no a la imagen. La razón es que de $d_{1}$ ha trivial proyección en el $H$-subespacio invariante y por lo que debe tener estabilizador $G$ en este espacio.

Hay un par de cosas que no entiendo aquí.

1. ¿Por qué es $U$ regular representación de $G$ modulo del trivial? Si estoy entendiendo las cosas correctamente, a continuación, puede ver cómo $G$ actúa mediante la permutación de los logarítmica de la incorporación de la $\mathcal{O}_{\mathbb{K}}^{\times}$. Ciertamente tiene un llamativo resembelence regular de la representación, pero no veo por qué esto es lo que debe ser. El reclamo es que este hecho de la siguiente manera a partir de la prueba de Dirichlet de la unidad de teorema, pero cuando voy a través de la prueba no puedo hacer esta conexión. (solucionado)
2. ¿Por qué es la dimensión de la $U$$|G|-|H|$. Siento que esto puede estar vinculado a una clase o ecuación de la órbita-estabilizador teorema pero no he hecho mucho progreso allí. Debería ser $|G|-|G|/|H|$, gracias por la aclaración David.
3. Yo realmente perdido cuando he llegado a las dos últimas frases. Si existe un subespacio en el que $d_{1}$ ha trivial estabilizador y la acción de la $G$ viajes con la proyección en este espacio, creo que puede producir una contradicción. Sin embargo, no tengo ninguna idea de por qué cualquiera de estas cosas que deben suceder.

Suponiendo que estos puntos puede ser aclarado esto parece implicar que si $\mathbb{Q}(d_{1})$ es cíclica extensión con grupo de Galois $\langle\tau\rangle$$G=\langle\tau\rangle$. Esto parece increíblemente raro para mí, aunque tal vez no tengo el número apropiado de teoría de la intuición. Alternativamente, podría ser que he perdido completamente el punto de que el último párrafo de la explicación anterior.

Gracias de antemano.

Answer 1

Primero de todo, una corrección -- la dimensión del núcleo de $\sum \tau^k$$|G|-|G/H|$. Lo siento.

Quizás un ejemplo ayude? Voy a trabajar con $K = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$. El grupo de Galois $G$$(\mathbb{Z}/2)^2$. Deje $\sigma$ ser el generador que niega $\sqrt{2}$ y corrige $\sqrt{3}$; deje $\tau$ ser el generador que corrige $\sqrt{2}$ y niega $\sqrt{3}$.

Creo que el grupo de la unidad es generado por $\pm 1$, $u_1=1+\sqrt{2}$, $u_2=2 + \sqrt{3}$ y $u_3=\sqrt{2} + \sqrt{3}$. Es posible que este es un finito índice subgrupo del grupo de la unidad, pero que no causa problemas, incluso si su verdad.

Deje $\ell_i$ ser la imagen de $u_i$$U$. Escribimos $U$ aditiva.

Yo reclamo que $\sigma$ $\tau$ actuar en $\ell_1$, $\ell_2$ y $\ell_3$ por los personajes $(-1,1)$, $(1,-1)$ y $(-1,-1)$ $G$ respectivamente. Por ejemplo, $\tau(u_2) = u_2^{-1}$$\tau(\ell_2) = - \ell_2$. Un poco más sutilmente, $(\sigma \tau)(u_3) = -u_3$ y el mapa de a $U$ mata el factor multiplicativo de a $-1$, lo $(\sigma \tau) \ell_3 = \ell_3$. Usted puede ir a través y comprobar todos los demás casos.

Así que, como había prometido, $U$ es una representación tridimensional de $G$ cuyo carácter es el de regular rep modulo de la trivial rep. Es isomorfo al grupo de funciones de $f:G \to \mathbb{Q}$$\sum_{g \in G} f(g)=0$. Los elementos $\ell_i$ corresponden a la trivial personajes de $G$.

Echemos un vistazo para unidades con $v \tau(v)=1$. Así que queremos que $\ell \in U$$(1+\tau) \ell=0$. Pensar en términos de funciones de $G \to \mathbb{Q}$, queremos $f(e) + f(\tau)=f(\sigma) + f(\sigma \tau) = 0$. Así que este es un espacio vectorial de dos dimensiones. Una base de este espacio vectorial es $\ell_2$$\ell_3$.

Si $a_2$ $a_3$ son cero enteros, a continuación, $a_2 \ell_2 + a_3 \ell_3$ ha trivial estabilizador. Esto es lo que sucede en general. Tenemos una $|G|-|G/H|$ dimensiones subespacio de $U$ y, excepto en la parte inferior de dimensiones de los subespacios de ella, el estabilizador es trivial.

Ahora, si la vida era simple, esto significaría que $v:=u_2^{a_2} u_3^{a_3}$ $v \tau(v)=1$ y habría trivial estabilizador, al $a_2$ $a_3$ son ambos cero. Es cierto que $v$ ha trivial estabilizador, ya que su imagen en $U$. Pero podríamos tener $v \tau(v) = -1$, ya que trabaja en $U$ no puede ver la torsión.

Sin embargo, siempre podemos solucionar este pasando a un número finito de índice de un subgrupo de la unidad de grupo. En este caso, tenemos $v \tau(v)=1$ mientras $a_3$ es incluso.

En resumen: Para cualquier $(a_2, a_3)$$a_3$, incluso, el elemento $v=(2+\sqrt{3})^{a_2} (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{a_3}$$v \tau(v)=-1$. Pero, como el tiempo de $a_2$ $a_3$ son ambos cero, $v$ ha trivial estabilizador.