Encontrar la suma de la serie infinita $\sum n(n+1)/n!$

Question

¿Cómo encontrar la suma de la serie hasta el infinito?

$$ \frac{2}{1!}+\frac{2+4}{2!}+\frac{2+4+6}{3!}+\frac{2+4+6+8}{4!}+\cdots$$

Sé que se reduce a $$\sum\limits_{n=1}^∞ \frac{n(n+1)}{n!}$ $ pero no sé cómo seguir adelante.

Answer 1

Definir $f$ por $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n!}$$ for $x\in\mathbb{R} $. (Es fácil comprobar que el radio de convergencia de esta función es infinito).

En particular:

• Todos $x\in\mathbb{R}$, $f''(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)n}{n!}x^{n-1}$, así que usted está buscando $f''(1)$;
• Para todas las $x\in\mathbb{R}$, $f(x) = x e^x$ con la conocida serie de energía $\exp$, así que el $f''(x) = (x+2)e^x$.

Por lo tanto, $f''(1) = 3e$.

Answer 2

Tenga en cuenta que $n\ge 2$ tenemos $$\frac{n(n+1)}{n!}= \frac{1}{(n-2)!} + \frac{2}{(n-1)!}. $ $

Esto nos permite reescribir la suma como $$ \frac{2}{0!} + \left (\frac {1} {0}! + \frac{2}{1!} \right) + \left (\frac {1} {1}! + \frac{2}{2!} \right) + \left (\frac {1} {2}! + \frac{2}{3!} \right) + \left (\frac {1} {3.} + \frac{2}{4!} \right) + \cdots $$ reorganización en la manera obvia da la suma como $3e$.

Answer 3

$$ xe ^ x = \sum\frac{x^{n+1}}{n.} \ d \frac {dx} x e ^ x = e ^ x + x e ^ x = \sum \frac {(n+1) x ^ n} {n}! \ \frac {d ^ 2} {dx ^ 2} x e ^ x = 2 e ^ x + x e ^ x = \sum \frac{n(n+1) x ^ {n-1}} {n}! $$

y como acerca a $x$ $1$

$$3 e=\sum \frac{n(n+1)}{n!}$$

Answer 4

Como usted observó $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{n!}$ $ reduce aún más

$$\begin{align} &\sum{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{n(n-1)!} \ =&\sum{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{(n-1)!}\ =&\sum{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n-1)!}+\frac{1}{(n-1)!}\ =&\sum{n=1}^{\infty} \frac{(n-1)}{(n-1)!} + \frac{2}{(n-1)!}\ =&\sum{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!} +\sum{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n-1)!}, \end {Alinee el} $$

Ambas sumatorias igualan $e$(euler's number) cuya expansión se da por e $$ = \sum_ {n = 1} ^ {\infty} \frac{1}{(n-1)!}. $$

Así $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{n!} = 3e$ $

Answer 5

$$\begin{eqnarray} \sum{n\geq 1}\frac{n(n+1)}{n!} &=& \sum{n\geq 1}\frac{1}{(n-1)!}+\sum{n\geq 1}\frac{n-1}{(n-1)!}+\sum{n\geq 1}\frac{1}{(n-1)!}\&=&2\sum{m\geq 0}\frac{1}{m!}+\sum{n\geq 2}\frac{n-1}{(n-1)!}=\color{red}{3e}.\tag{1}\end{eqnarray}$$

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Un enfoque alternativo. $$ \sum{n\geq 1}\frac{n(n+1)}{n!} = \sum{n\geq 0}\frac{n+2}{n!} = \left.\frac{d}{dx}\left(x^2 e^x\right)\right|{x=1}=\left.(x^2+2x)\,e^x\right|{x=1}=\color{red}{3e}.\tag{2} $$

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Sin embargo de otra manera.

%#% $ de #% donde la suma más interna es distinto de cero sólo para $$\begin{eqnarray}e^{-1}\sum{n\geq 0}\frac{n+2}{n!}=\sum{m\geq 0}\frac{(-1)^m}{m!}\sum{n\geq 0}\frac{n+2}{n!} &=& \sum{a\geq 0} \sum{n=0}^{a}\frac{(-1)^n (a-n+2)}{(a-n)!n!}\&=&\sum{a\geq 0}\frac{1}{a!}\sum_{n=0}^{a}\binom{a}{n}(-1)^n (a+2-n)\tag{3}\end{eqnarray}$ y $a=0$ por la teoría del operador diferencia hacia adelante: $a=1$ es un polinomio de grado $(a+2-n)$ $n$.