secuencias de intervalo que contiene elementos infinitos de una progresión aritmética

Question

Este es un problema en análisis real que ha molestado a mí y a mis amigos durante varios días:

¿Para una secuencia arbitraria de intervalos $(a_i,b_i)$, $a_i$ y $b_i$ tienden a infinito y la intersección de cualquier dos intervalos está vacía, debe existir una progresión aritmética que hay infinitos elementos de la progresión en la secuencia de intervalos?

Gracias

Answer 1

Creo que la respuesta es sí. Coloque primero el abierto de intervalos cerrados intervalos, contenida en el abierto. Esto hace que sea más difícil. A continuación, vamos a $ A_N = \alpha \in (0,1] \; \text{, such that } f(n \alpha) = 0 \forall n > N $ donde f es la función de indicador de la serie. $A_N$ es cerrado ya que si $\alpha_i \rightarrow \alpha, m\alpha_i \rightarrow m \alpha$ y dado que todas las $m\alpha_i$ están en la unión de la (cerrado) los intervalos, $m\alpha$ también. También, $[0,1] = \cup 0, A_i$, si la conjetura es falsa, por lo que bajo esas circs, por la categoría de Baire thm, una de las $A_i$ tiene un no-vacío interior. Una vez que se ha logrado es sencillo para mostrar $f(x) \rightarrow 0$ . Eso es una contradicción. Esto está basado en un conocido thm acerca de la continuación de las funciones, que si convergen a lo largo de cada secuencia, en el que confluyen. Yo lo vi en la de matemáticas mensual de aproximadamente 1984 , donde fue llamado un "teorema folk'.