Grupo abeliano y sus subgrupos

Question

¿Es cierto que si un Grupo abeliano tiene subgrupos de orden m y n respectivamente, cuenta con un subgrupo cuyo orden es el mínimo común múltiplo de m y n? ¿Si es entonces puede alguien explicar con una prueba válida?

Answer 1

Deje $G$ ser un grupo abelian con subgrupos $H, K$ de las órdenes de $m, n$ respectivamente. A continuación, $HK$ es de un número finito de abelian grupo con $H$ $K$ como subgrupos, por lo que su fin es divisible por tanto $m$$n$, por lo que es un multiples de $(m, n)$.

El resultado se sigue de la siguiente hecho: Si $G$ es de un número finito de abelian grupo de orden $k$$l | k$, $G$ tiene un subgrupo de orden $l$.

Prueba: procedemos por inducción sobre $k$. Si $k=1$ no hay nada que demostrar. Supongamos ahora que el reclamo tiene siempre $|G| < k$. Si $l=1$, de nuevo hay nada que demostrar (ya que el trivial grupo es un subgrupo de cada grupo), así que supongo que $l >1$, y deje $p$ ser algunos de los mejores dividiendo $l$. Por Cauchy teorema, existe alguna $x \in G$ orden $p$. Desde $G$ es abelian, $\langle x\rangle$ es un subgrupo normal de $G$, y así podemos considerar que el grupo abelian $G/\langle x \rangle$. Esto ha estrictamente de orden menor que $G$, de modo que por la hipótesis inductiva, tiene un subgrupo $\tilde{H}$ orden $l/p$.

Por último, voy a utilizar sin la prueba de que existe un natural de una correspondencia uno a uno $$\phi: \{K \leq G: x \in K\} \to \{\tilde{K} : \tilde{K} \leq G/\langle x\rangle\}$$ given by $\phi(K) = K/\langle x\rangle$ (it's very easy to check that $\phi$ is a bijection). Thus $\tilde{H}$ lifts (i.e. corresponds) to a subgroup $H = \phi^{-1}(\tilde{H})$ of $G$ containing $x$, and indeed, we have that $|H| = |\tilde{H}| \cdot |\langle x\rangle| =$ l. Esto completa la prueba.