$G$ un grupo y $H, K\mathrel{\unlhd}G$ . Asumiendo que $H \cap K = \{1_G\}$ y $G = \langle H, K \rangle$ , demuestre que $G \cong H \times K$

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación:

Dejemos que $G$ sea un grupo y $H, K\mathrel{\unlhd}G$ . Asumiendo que $H \cap K = \{1_G\}$ y $G = \langle H, K \rangle$ , demuestre que $G \cong H \times K$ .

A partir de esto, obtenemos que $HK \cong H \times K$ . Naturalmente, sería ideal si pudiera demostrar que $HK \cong G$ . Una cuestión que se me plantea aquí es el significado de $G = \langle H, K \rangle$ . ¿Cómo se define esto (quiero decir, más explícitamente)? ¿Es mi estrategia correcta o

Answer 1

Si ambos $H$ y $K$ son normales en $G$ , tenga en cuenta que $$\color{green}{\underbrace{\color{black}{h^{-1}k^{-1}h}}}\color{green}{\underbrace{\color{black}{k}}}\in \color{green}{K} \hspace{15pt}\text{and}\hspace{15pt}\color{blue}{\underbrace{\color{black}{h^{-1}}}}\color{blue}{\underbrace{\color{black}{k^{-1}hk}}}\in \color{blue}{H}$$ por lo que tenemos $h^{-1}k^{-1}hk\in H\cap K=1$ . Así, $h^{-1}k^{-1}hk=1$ por lo que al multiplicar por la izquierda por $kh$ obtenemos $hk=kh$ . Como nuestra elección fue arbitraria, debemos tener que $H$ y $K$ conmutar por elementos.

$\langle H , K \rangle$ es el grupo generado por todas las palabras con letras en $H$ y $K$ . Porque $H$ y $K$ Sin embargo, observamos que, dada cualquier palabra de este tipo, podemos reordenarla de modo que todas las $H$ están a la izquierda y todos $K$ están a la derecha. En particular, cada elemento de $\langle H , K \rangle$ puede ser únicamente expresado como un producto $hk$ para algunos $H\in H$ y algunos $k\in K$ .

Ahora dejemos que $\varphi:\langle H , K \rangle\rightarrow H\times K$ . Probar la propiedad homomórfica es el contenido de esta afirmación. Entonces, como los elementos de $G$ se representan de forma única como productos $HK$ el isomorfismo tiene un núcleo trivial, por lo que es inyectivo, por lo que es sobreyectivo, y hemos terminado.

Answer 2

El símbolo $\langle H, K \rangle$ se utiliza para denotar el subgrupo generado por los elementos de $H$ y elementos de $K$ . Dado que ambos $H$ y $K$ son subgrupos normales, $HK$ es un subgrupo. Ahora debería ser sencillo demostrar que $HK = \langle H, K \rangle$