¿Por qué el \$F_{knee} = 0.5 / T_{r}\$ ?

Question

En "High-speed Digital Design - A handbook of black magic" p. 2,

La frecuencia de rodilla de cualquier señal digital está relacionada con el tiempo de subida (y caída) de sus flancos digitales, pero no con su velocidad de reloj:

$$ F_{knee}=\frac{0.5}{T_{r}} $$

donde

\$F_{knee}\$ = frecuencia por debajo de la cual se concentra la mayor parte de la energía de los pulsos digitales se concentra

\$T_{r}\$ = tiempo de subida del pulso

¿Cuál es la matemática y la teoría detrás de esta ecuación? Sé que la frecuencia máxima en un circuito con reloj debe ser mayor que la velocidad del reloj, pero ¿por qué 0,5?

Answer 1

Si se toma una señal digital aleatoria con Tr como tiempo de subida/bajada y se traza la potencia frente a la frecuencia, se verá que la potencia cae 20 dB/década hasta aproximadamente Fknee, donde la potencia cae 40 dB/década.

Si utiliza la definición de tiempo de subida/bajada del 10%-90%, en Fknee tendrá 6,8dB de pérdida adicional en comparación con los 20db/década.

Si se opta por una pérdida adicional de 3dB, la constante mágica "0,5" se convierte en la más utilizada "0,35", por lo que Fknee = 0,35/Tr.

Si se opta por una pérdida adicional de 3dB y se utiliza la definición de tiempo de subida del 20%-80%, la constante pasa a ser "0,22".

Genial si alguien puede encontrar un Matlab/Scilab script para trazar y mostrar esto :-)

Answer 2

Si tuviéramos una señal que consistiera en una subida de 0,5ns y una bajada de 0,5ns, diríamos con razón que "esta señal tiene un periodo de 1ns". Entonces, probablemente concluirías que tu señal (con un periodo de 1ns) tiene una frecuencia de 1GHz.

Se podría suponer entonces que si los tiempos de subida y de bajada son iguales F = 0,5/ tiempo de subida (o de bajada), es decir, F = 0,5/0,5ns = 1GHz.

Answer 3

Veamos la forma sinusoidal perfecta y la definición del tiempo de subida. El tiempo de subida está entre el 10% y el 90% de la pendiente. En las señales de alta velocidad, el tiempo de subida incluye la frecuencia más alta de la señal.

En una forma sinusoidal típica, el tiempo de subida es aproximadamente el 33% del periodo. Si conocemos el tiempo de subida de la señal, podemos calcular su periodo (periodo de la frecuencia más alta de esta señal): period= 3*rise_time.

F_rodilla = 1/(3*tiempo de subida) = 0,33/tiempo de subida

Así que F_knee es sólo una frecuencia más alta en la señal digital calculada a partir del tiempo de subida o del tiempo de bajada (utilice el más corto).