A mí me parece que la métrica de Riemann $g_{ij}=\delta_{ij}/|x|^2$ sobre el perforado avión está completo, pero no me parece una prueba de que no impliquen explícita de los cálculos de la ecuación geodésica. ¿Alguien sabe de uno?
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Como user8268 señaló, este espacio es isométrico a $\mathbb{R}\times S^1$. El uso de las coordenadas polares $(r,\phi)$$\mathbb{R}^2\setminus \{0\}$, la isometría es $$F(r,\phi) = (\log r,\phi)\in \mathbb{R}\times S^1$$
De hecho, este mapa es el más suave y un bijection. De modo que para comprobar que es una isometría queda por considerar la acción de los vectores de tangentes. Convenientemente, el espacio de $(\mathbb{R}^2\setminus \{0\},g_{ij})$ tiene dos campos vectoriales que forman una base ortonormales de cada plano tangente:
$$
r\,\frac{\partial}{\partial r} \quad\text{y}\quad \frac{\partial}{\partial\phi}
$$
El mapa de $F$ les empuja hacia adelante $$
\frac{\partial}{\partial z} \quad\text{y}\quad \frac{\partial}{\partial\phi}
$$
que son ortonormales de vectores de los campos en $\mathbb{R}\times S^1$. El empuje hacia adelante es, básicamente, la regla de la cadena: desde $r=e^{z}$,
$$
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial r}{\partial z} \frac{\partial f}{\partial r} = e^z \frac{\partial f}{\partial r} = r\,\frac{\partial f}{\partial r}
$$
Desde $dF$ mapas de una base ortonormales a otro, es una isometría.
