Probabilidad de obtener un blanco de la bola después de $4$ pelotas son dibujadas

Question

Una bolsa contiene $6$ Rojo y $4$ bolas Blancas. $4$ bolas son atraídos uno por uno sin el reemplazo y se encontró que tener al menos $2$ blanco.¿Cuál es la probabilidad de que el próximo sorteo de una pelota de esta bolsa le dará una bola blanca.?

Yo:

Como hubo, al menos, $2$ bolas blancas, por lo tanto he hecho tres casos.

$2W$ $2R$ o $3W$ $1R$ o $4W$

Ahora

Se requiere probabilidad=$\frac{C(4,2)C(6,2)}{C(10,4)}\left(\frac{2}{6}\right)+\frac{C(4,3)C(6,1)}{C(10,4)}\left(\frac{1}{6}\right)+0$

Pero no te da derecho de respuesta, que es $\frac{34}{115}$. ¿Qué es el error en mi método? Cómo obtener la respuesta correcta?

Answer 1

Yo creo que simplemente se olvidó de un "denominador".

Deje $N=4$ el número de bolas blancas, $M=6$ el número de bolas rojas y $d=4$ el número de bola para la muestra en la primera ronda. A continuación, se desea calcular la probabilidad de que Un="$(d+1)$- th es un ejemplo de una bola blanca" dado que B="la anterior $d$ le dio muestras de al menos dos bolas blancas", es decir, $P(A|B)$. Así tenemos a $P(A|B)= \frac{P(A \cap B )}{ P(B)}$. Ahora bien, la probabilidad de seleccionar exactamente $k$ bolas blancas sigue una distribución hipergeométrica, así que, dado que la elección concreta de los $N,M$$d$, obtenemos $$ P(B) = \sum_{k=2}^{d} \frac{ {N \elegir k} {M \elegir d-k} }{ {N+M \elegir d} } $$ Para el caso de $A \cap B$, ten en cuenta que queremos de la muestra $(d+1)$ bolas en total y $$ P(a\cap B) = \sum_{k=2}^{d} \frac{N-k}{N+M-d} \frac{ {N \elegir k} {M \elegir d-k} }{ {N+M \elegir d} }. $$ De hecho, el primer término es la probabilidad condicional de selección de una bola blanca y dado que en el primer $d$ muestras llegamos $k$, y el segundo término es la probabilidad de selección de $k$ bolas blancas en la primera $d$ de las muestras.