En el límite en el que hacemos *realmente* obtener Maxwell-Boltzmann estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac?

Question

Fermi-Dirac y Bose-Einstein la energía ocupación número $n(\epsilon)$ en unidades naturales ($[T]=[\epsilon]$) leer $$n(\epsilon) = \frac{D(\epsilon)}{e^{(\epsilon-\mu)/T}\pm 1},$$ donde $D(\epsilon)$ es la densidad de estados en función de la energía $\epsilon$, $+$ es de Fermi-Dirac y $-$ es de Bose-Einstein.

La respuesta habitual a la pregunta de por que se limitan a llegar a Maxwell-Boltzmann estadísticas es: $$\frac{\epsilon-\mu}{T} \gg 1$$ o $$\frac{\epsilon_{min}-\mu}{T} \gg 1$$ Esto le da a usted puramente formalmente de Maxwell-Boltzmann de distribución, pero es un trabajo de pseudo-argumento como cuando $T \to \infty$, $\frac{\epsilon-\mu}{T} \to 0$ y por el contrario $T \to 0^+$, $\frac{\epsilon-\mu}{T} \to \infty$. Por lo tanto, esta regla nos diría a aplicar la estadística de Boltzmann a las bajas temperaturas y el palo con el quantum de las estadísticas a altas temperaturas. Esta es, obviamente, una caída en el abismo ardiente de lodos de libros de texto de mumbo jumbo.

Para resolver esto, creo que tenemos que suponer un crecimiento de la densidad de estados $D(\epsilon)$ y fielmente tomar la $T \to \infty$ límite mostrando que cada característica macroscópica (es decir, cada momento de la distribución original) está en el límite reproducido por Maxwell-Boltzmann a a $\mathcal O(T^{-2},\sqrt{N},...)$.

El problema en el "libro de texto" argumento así como con el discutido límite es que $\epsilon-\mu$ realidad siempre pasa a través de los valores, que son tanto mayor y menor de $T$ en la integración. La creciente $T$ "frotis" la distribución en más y más regiones en $\epsilon$, lo que motivó mi conjetura de que $D(\epsilon)$ debe ser creciente, de modo que la "borrosidad" hace que el alta de los estados energéticos de dominar.

Entonces, ¿cómo es el límite rigurosamente hecho? Y hay algo más de los supuestos que normalmente no se menciona? (Mi conjetura es que la basura con $\mu \approx \epsilon$ Bose-Einstein también las necesidades de algunos de manejo.)

Answer 1

Yo te daré el argumento que se presenta en el libro que he aprendido de, la Física, la Dinámica de Gases. Para referencia, página 104, en el Capítulo 4 de la sección 6. Lo presento en su lugar, porque no depende de la distribución de Boltzmann para la derivación de lo que tal vez hay algo de información adicional para usted. Se estableció en la sección 5, que:

$$ \frac{N_j^*}{C_j} = \frac{1}{e^{\alpha + \beta \epsilon_j} \mp 1} $$

para el SER y FD estadísticas respectivamente. La otra notación: $N_j^*$ es el número de partículas en el estado de energía $j$, $C_j$ es el número de niveles posibles y los coeficientes $\alpha$ $\beta$ aún no se han determinado.

En "suficientemente alto" temperaturas, $C_j \gg N_j^*$ y la única manera de que eso sea cierto es que si el denominador es grande. Y cuando el denominador es grande, la exponencial es mucho mayor que 1 por lo que el término puede ser descuidado. Por lo tanto FD y estadísticas conducir a la misma expresión:

$$ \frac{N_j^*}{C_j} = e^{-\alpha - \beta \epsilon_j} $$

Luego aplicar esto a la cantidad de microstates (después de la libra Esterlina aproximación):

$$ \ln W = \Sigma_j \left[ \pm C_j \ln \left(1\pm\frac{N_j}{C_j}\right)+N_j\ln\left(\frac{C_j}{N_j}\pm 1\right)\right]$$

donde el $\pm$ es para SER y FD, respectivamente. De modo que el enchufe en la expresión de $N_j^*/C_j$ y más dar la aproximación: $\ln\left(1 \pm x\right) \approxeq \pm x$ $x \ll 1$ para llegar al límite de Boltzmann:

$$ \ln W = \Sigma_j N_j \left( \ln \frac{C_j}{N_j} + 1 \right)$$

De manera que toda derivación realmente sólo depende de la idea de que en "lo suficientemente grande" de las temperaturas, hay bastante más de energía de los estados de las partículas y por lo que la gran mayoría de ellos están vacíos. Además, tanto la FD y estadísticas tener el mismo resultado porque muchos estados están vacíos que la probabilidad de que dos partículas, tratando de ocupar el mismo nivel es muy bajo.

Toda esta derivación se basa únicamente en la información sobre quantum estadísticas y no requieren de la mano saludando necesario para llegar a la misma conclusión a partir de la mecánica clásica como la derivación de la distribución de Boltzmann (por lo que dicen los autores de el libro inmediatamente después de la derivación).

Él va más allá al decir que el $\epsilon_j$ dispone de una amplia gama de valores, incluyendo el cero, y por lo que la única manera para que la exponencial a ser grande para todos los estados es tener $\alpha \gg 1$. Esto es equivalente a (y se deja como ejercicio):

$$ \frac{V}{N} \times \frac{\left(2 \pi m k T\right)^{3/2}}{h^3} \gg 1$$

que es violado por muy pequeño $m$ con un número muy grande de la densidad de $N/V$.

Entonces es bastante recta hacia adelante para eliminar la $\alpha$ y venir para arriba con una expresión con sólo $\beta$, que no es posible resolver prácticamente. Así que el uso de la expresión para el número máximo de microstates y perturban la solución de $N_j^*$ y el abandono de los términos de segundo o y superior de $\Delta N_j$.

Basado en todo esto, se encuentra que el $\beta = \frac{1}{k T}$. Pero esto depende de la suposición de que todos los posibles microstates de un sistema a priori igualmente probables.

Obviamente me he saltado un montón de pasos y las ecuaciones de la derivación, pero yo recomiendo este libro (o cualquier otro que muestra la derivación de la mecánica cuántica lado en lugar de la de Maxwell-Boltzmann lado de la distribución).

Answer 2

Para SER o FD estadísticas que tienen la restringidos que usted está tratando con un número fijo de partículas (fijo o número medio). Que le da una normalización de la condición $$ \int d\epsilon \ n(\epsilon) = N $$ Ahora, para la gran T $\beta \epsilon$ es pequeña, es decir, una gran fracción de los posibles estados de energía es realmente accesibles, es decir, podría contribuir a la integral. Para asegurarse de que la normalización de la condición se cumplió usted necesita tener $\mu$ tal que $$ e^{\beta (\epsilon \mu)} \gg 1 $$

Así que, en breve, la restricción en el número de partículas requiere de una dependencia de la temperatura de la sustancia química potencial, que a su vez conduce a MB estadísticas a altas temperaturas.

Answer 3

Voy a hacer este Q&A estilo, ya que me acabo de dar cuenta de cuál es la respuesta. En primer lugar, me gustaría pedir disculpas a la gente que yo dissed por el $$\frac{\epsilon -\mu}{T} >> 1$$ respuesta. Sin un comentario, es un poco confuso, pero en realidad a la derecha, por encima de la relación que debe mantener para todos los estados de energía, por lo que la mayoría muy caro a la energía más baja $\epsilon_{min}$. Si descuidamos $\epsilon_{min}/T\approx 0$, tenemos $$T \ll -\mu$$ Que es, en ciertos casos, la de Maxwell-Boltzmann de distribución, de hecho, puede ser un bajo límite de temperatura (ver los dos últimos párrafos). Para un alto límite de temperatura, esta estructura jerárquica debe ser siempre satisfechos $$1 \ll T \ll -\mu$$

Lo es, sin embargo, a menudo debatido es el hecho de que estamos realmente interesados en un sistema cerrado en equilibrio (canónica de conjunto). Para que necesitamos para revertir la expresión $$N = \int_0^\infty \frac{D(\epsilon)}{e^{(\epsilon - \mu(N,V,T,...))/T}\pm 1} d\epsilon $$ Para obtener la función de $\mu(N,V,T,...)$. Sin embargo, esto es muy diferente para cada sistema, por lo que se no sólo en general, decir lo que el resultado podría ser. Por ejemplo, para un televisor $D(\epsilon)=1$ tenemos $$N = \pm T log(\pm e^{\frac{\mu}{T}}+1)$$ Asumiendo $-\mu/T \gg 1$ y la comprobación de la auto-consistencia más tarde, obtenemos $$N \approx \pm T(1 \pm e^{\frac{\mu}{T}}), \to -\frac{\mu}{T} = - log(\frac{N}{T}\pm 1)$$ Ahora, obviamente, para $T \to \infty$, $-\mu/T \to 0$ para Fermi-Dirac y se pone indefinido de Bose-Einstein, (auto-consistencia - no). Así que es realmente difícil para invertir esta ecuación incluso por el simple densidad y de la estructura jerárquica puede ser obtenido solamente si $-\mu/T$ es creciente con $T$. Creo que la alta temperatura límite también debe ser tomado junto a otro simultánea límite, como el de baja densidad, como es mencionado por el usuario tpg2114 y no puede ser probado para un sistema genérico.

Ahora, para los casos en donde la de Maxwell-Boltzmann estadísticas es en realidad un bajo límite de temperatura. Esto es cierto, por ejemplo, para un multi-componente del sistema donde "química" reacciones están teniendo lugar (esto puede incluir las reacciones nucleares y de partículas de cambio como en los principios de la cosmología). En estos sistemas, el componente químico potenciales son fijados por la energía que se libera en las reacciones. De manera similar, en un sistema abierto, tenemos un potencial químico fijado por el depósito externo. Entonces, si la diferencia de $(\epsilon_{min}-\mu)$ es positivo, hemos hecho la ganancia de la de Maxwell-Boltzmann de la distribución de las bajas temperaturas $$T \ll \epsilon_{min}-\mu$$ E. g. para los fotones donde $\mu=0$, de hecho podríamos uso de Maxwell-Boltzmann sólo para una pequeña cavidad a temperatura muy baja ya que el modo más bajo de los fotones $\epsilon_{min} \sim V^{-1/3}$.

Para resumir, en un grandcanonical conjunto con fijo $\mu$ (es decir, no cambia en la limitación de proceso), Maxwell-Boltzmann estadísticas pueden nunca ser utilizado como un alto límite de temperatura.

La baja temperatura en caso de que realmente se hace por ejemplo en las partículas de la cosmología. Fue cuando la lectura de este artículo (eq. 2.20 a) cuando me topé con la "paradoja" que la de Maxwell-Boltzmann estadísticas pueden ser utilizados debido a que la temperatura es baja y tuvo que hacer esta pregunta.