¿Por qué no es ' t lo $E \approx 27.642 \times mc^2$?

Question

Lo siento por la extraña pregunta, pero ¿por qué es que muchos de los más importantes de la ecuación no tiene feo números (es decir, "arbitraria" irracional factores) a la línea de ambos lados?

¿Por qué tantas ecuaciones se expresa tan claramente con pequeños números naturales, mientras que el reciclaje de un conjunto relativamente pequeño de física y matemática de las constantes?

Por ejemplo, ¿por qué es la masa–energía de equivalencia se puede describir con la ecuación de $E = mc^2$ y no algo como $E \approx 27.642 \times mc^2$?

¿Por qué es la dilatación del tiempo se puede describir con algo tan limpio como $t' = \sqrt{\frac{t}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ y no algo feo, como $t' \approx 672.097 \times 10^{-4} \times \sqrt{\frac{t}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$.

... y así sucesivamente.

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No estoy bien educada en los asuntos de la física y así me siento un poco avergonzado de pedir esto.

Igualmente no estoy seguro de si esto es más una cuestión filosófica o uno que permite una respuesta concreta ... o tal vez incluso la premisa de la pregunta en sí misma es defectuosa ... lo que me hacía con gratitud considerar cualquier cosa que arroja luz sobre la naturaleza de la pregunta en sí como respuesta.

Answer 1

Es un efecto secundario de la irrazonable efectividad de las matemáticas. Usted está en buena compañía pensar que es un poco extraño.

Muchas cantidades en la física pueden ser relacionados entre sí por un par de líneas de álgebra. Estos tienden a ser los modelos que pensamos como "bonito". Términos manipulados por pura álgebra tienden a recoger entero factores o factores que son enteros elevado a potencias enteras; si sólo un par de manipulaciones algebraicas están involucrados, los números enteros y sus poderes tienden a ser pequeños.

Otras cantidades pueden ser relacionadas por un par de líneas de cálculo. De cálculo es obtener la trascendental, la cual puede no estar relacionado con los números enteros mediante la solución de una ecuación algebraica. Pero hay un montón de transformaciones algebraicas que usted puede hacer para relacionar una parte integrante de la otra, y así muchos de estos trascendental números pueden estar relacionadas entre sí por factores de enteros pequeños planteadas para pequeñas potencias enteras. Esta es la razón por la que pasamos mucho tiempo hablando acerca de $\pi$, $e$, y a veces Bernoulli $\gamma$, pero realmente no tienen una biblioteca entera de irracional constantes para que la gente memorice.

La mayoría de las constantes con el número de dígitos significativos provienen de conversiones de unidades, y son esencialmente histórico de los accidentes. Carl Witthoft da el ejemplo de $E=mc^2$ tener un factor numérico si desea que la energía en Btu. El BTU es el calor que se necesita para elevar la temperatura de una libra de agua un grado Fahrenheit, lo que además de la totalidad histórica de la diferencia entre kilogramos y libras, y Rankine y Kelvin está relacionado con la capacidad de calor de agua. Es una gran unidad si estás diseñando una caldera! Pero no tienen ningún lugar en la ecuación de Einstein, porque $E\propto mc^2$ es un hecho de la naturaleza que es mucho más simple y más fundamental que el de rotación y el espectro vibracional de la molécula de agua.

Allí son varios los lugares donde no son reales, adimensional constantes de la naturaleza que, tan lejos como se sabe, no son enteros pequeños y familiar y a la trascendental números planteadas para pequeñas potencias enteras. El más famoso es probablemente el electromagnético constante de estructura fina a $\alpha \approx 1/137.06$, definido por la relación $\alpha \hbar c = e^2/4\pi\epsilon_0$, donde esta $e$ es la carga eléctrica de un protón. La constante de estructura fina es la "fuerza" del electromagnetismo, y el hecho de que $\alpha\ll1$ es una gran parte de por qué podemos decir que "entender" la electrodinámica cuántica. "Simple" de las interacciones entre dos cargas, como el intercambio de un fotón, contribuyen a la energía con un factor de $\alpha$ al frente, tal vez multiplicado por algunos cociente de enteros pequeños planteadas para pequeñas potencias. La interacción de intercambio de dos fotones "de una vez", que hace un "bucle" en el diagrama de Feynman, contribuye a la energía con un factor de $\alpha^2$, como todos los demás "de un bucle de" interacciones. Interacciones con dos "loops" (tres fotones a la vez, de dos fotones y la partícula-antipartícula de fluctuación, etc.) contribuir a la escala de la $\alpha^3$. Desde $\alpha\approx0.01$, cada "orden" de las interacciones contribuye aproximadamente a dos o más dígitos significativos para cualquier cantidad que usted está calculando. No es hasta el sexto o séptimo fin de que empieza a haber miles de topológicamente-permitió a los diagramas de Feynman, contribuyendo así a muchos cientos de contribuciones en el nivel de $\alpha^{n}$ que comienza a darle una paliza en el cálculo de $\alpha^{n-1}$. Un punto de entrada a la literatura.

La teoría microscópica de la fuerza fuerte, la cromodinámica cuántica, que es esencialmente idéntica a la microscópica de la teoría del electromagnetismo, excepto con ocho acusados gluones en lugar de uno neutral fotón y un diferente constante de acoplamiento $\alpha_s$. Por desgracia para nosotros, $\alpha_s \approx 1$, por lo que para los sistemas con sólo la luz de los quarks, la informática, un par de "simple" quark-gluon interacciones y detener da resultados que son completamente ajenos a la fuerza que vemos. Si hay una quarks pesados involucrados, QCD es de nuevo perturbativa, pero no casi tanto éxito como el electromagnetismo.

No hay ninguna teoría que explica por qué la $\alpha$ es pequeña (aunque ha habido esfuerzos), y ninguna teoría que explica por qué la $\alpha_s$ es grande. Es un misterio. Y seguirá siento como un misterio hasta que algún modelo es desarrollado donde $\alpha$ o $\alpha_s$ puede ser calculado en términos de otras constantes multiplicado por trascendental y números enteros pequeños planteadas para pequeñas potencias, momento en el que volverá a ser un misterio por qué la matemática es tan eficaz.

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Un comentarista se pregunta

No α ya que se puede expresar en términos de constantes físicas o ¿vas a decir constantes matemáticas como π o e?

Es cierto que $$ \alpha \equiv \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} \frac1{\hbar c} $$ define $\alpha$, en términos de otros medidos experimentalmente cantidades. Sin embargo, una de esas cantidades no es como las otras. En mi opinión, la adimensional $\alpha$ es la constante fundamental del electromagnetismo; el tamaño de la unidad de carga y la polarización del vacío están relacionados con magnitudes derivadas. Considere la posibilidad de Coulomb la fuerza entre dos cargas: $$ F = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0}\frac1{r^2} = \alpha\frac{\manejadores c}{r^2} $$ Este es exactamente el tipo de formulación que badroit estaba preguntando acerca de: la fuerza depende de la mínima masa de momento angular $\hbar$, la característica constante de la relatividad $c$, la distancia $r$, y una constante adimensional para los que no tenemos una buena explicación.

Answer 2

Todo está en cómo definir las unidades. $E = mc^2$ en agradables unidades MKSA; pero entonces tendrá cambio de energía en BTU y la siempre adorable "fudge factor" allí.

La gente pasó mucho (bueno, algunos) de tiempo desarrollando sistemas uniformes de unidades en gran parte para ecuaciones sencilla, Tho ' como Rijul señalado, feo de asignar números a conocidos constantes esconde mucho así.

Answer 3

Yo no diría yo sé la respuesta, pero en mi creencia de que tienden a ocultar el feo de los números.

Ver la ecuación de Rydberg $$\frac {1}{\lambda} = R (\frac {1}{n_1^2}-\frac {1}{n_2^2}) $$ where $ R $ hides the ugly number $R = 1.0973731568539×10^{-7}\ \mathrm{m}^{-1}$

Del mismo modo, observar Bohr del segundo postulado de la $$L = \frac{nh}{2\pi}$$ where $h$ hides the ugly number $h=6.62606957×10^{-34}\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1} $

Puede haber muchos más ejemplos, pero creo que esto es suficiente para hacer mi punto!

Nota: los números que se podría llamar fea otros podrían considerar de gran belleza, como algunas personas podrían considerar la constante de Planck de la divina belleza!

Anexo: el número de ecuaciones con y sin dichas cifras deben ser consideradas, yo creo que no sería la más hermosa de las relaciones que el feo!

También, usted necesita para comenzar a incluir todos los números sencillas de números naturales como 1 y 2 en la lista de feo números! Entonces por esa definición, incluso, la ecuación de la dilatación del tiempo tiene un "1" que se esconde allí!

Añadido con respecto al comentario: los números a los que usted se refiere como feo en su pregunta fueron raro y complicado, tengo bastante encontrar la belleza en la simetría completa y parcial, leí en alguna parte que las plantas y todas son estéticamente agradables debido a la simetría parcial! Así que tal vez la sencillez de los números racionales y la familiaridad con las constantes de hace menos feo que otros.

Answer 4

A mí me parece que hay dos maneras de abordar esta cuestión, dependiendo de lo que usted ve como fundamental. Al final del día, todo atado con el sorprendente poder de las dimensiones de análisis.

En la dinámica clásica hay 3 independiente dimensionful cantidades. Estos son simplemente de masa ($M$), longitud ($L$) y el tiempo ($T$). Una vez que hayas elegido una unidad estándar para cada una de estas cantidades, a continuación, todos los demás dimensionful cantidades son únicamente representado por un número y las unidades apropiadas.

Por ejemplo la energía en unidades de $ML^2T^{-2}$. Eso significa que una vez que hayas establecido las cantidades estándar de masa, longitud y tiempo, entonces usted puede hablar acerca de la energía de forma inequívoca. Por lo general, utilizar las unidades del SI, donde la energía viene con la unidad Joule ($\mathrm J$) y

$$1\ \mathrm J = 1\ \mathrm{kg\ m^2\ s^{-2}}$$

Desde esta perspectiva, entonces, es muy extraño que $E = mc^2$ funciona exactamente como un derecho. Dicho de otra manera, la cantidad de $E/mc^2$ es adimensional - de modo que la alteración de sus definiciones estándar de masa, longitud y tiempo no le afecta! Entonces, ¿por qué en la tierra, deberíamos encontrar que

$$E/mc^2 = 1$$

en lugar de la menos elegante

$$E/mc^2 = 27.1252$$

La respuesta se encuentra en una comprensión más detallada de Einstein, la teoría especial de la relatividad. Básicamente lo que Einstein logró fue la conciliación de las siguientes ideas

1. La física se ve el mismo independientemente de la velocidad a la que viaja
2. La velocidad de la luz es una constante universal

Einstein solución exactamente requiere que $E/mc^2=1$. De hecho puede derivar esta ecuación suponiendo simetría de Lorentz y Einstein, la noción de tiempo apropiado. Hay un par de buenas cuentas disponibles en línea - aquí y aquí.

Pero usted podría haber adivinado $E=mc^2$ era cierto, sólo a partir de su conocimiento de las dimensiones. Pensar en una descomposición del núcleo. Este pierde masa y emite energía en forma de ondas electromagnéticas. Así que los tres cantidades involucradas son (ingenuamente) $E$,$m$ y $c$.

Análisis Dimensional dice que deben ser relacionadas por una ecuación

$$E/mc^2 = K$$

donde $K$ es algún número adimensional. Un fuerte principio filosófico llamado naturalidad dice que $K$ debe ser aproximadamente el $1$. A través de los años, los físicos han encontrado que la naturalidad es una muy buena guía para nuestra comprensión. Si las fórmulas son naturales, como $E=mc^2$ es usualmente un signo de que la teoría subyacente es el sonido.

Esto enlaza perfectamente con Rob respuesta. Él menciona algunos adimensional cantidades que no son tan cercanos a $1$. Algunos físicos sensación de que esta muestra de nuestros modelos están incompletos. Hay muchas de las soluciones propuestas que explican estas cantidades excesivas. Muy pocos podrían ser descartada si el LHC no ve ninguna nueva partículas cuando se enciende de nuevo el próximo año. Así que quizás en 2016 estaremos abandonando la naturalidad como una guía!

He mencionado que no había otra manera de ver la cuestión. Supongamos que tomamos nuestro fundamentales de unidades de masa ($M$), energía ($E$) y de velocidad ($V$). Ahora, por supuesto, $E/mc^2$ ya no es una cantidad adimensional. Tiene unidades de $EM^{-1}V^{-2}$ y podemos ajustar nuestras medidas estándar de manera que obtenemos exactamente

$$E = mc^2$$

Esto es precisamente lo que Carl y Rijul estaban hablando. En un mundo donde sus unidades son fundamentalmente $M$,$E$ y $V$ no hay ningún misterio - la fórmula es sólo un útil recurso mnemotécnico para un hecho experimental.

Déjeme saber si usted quiere más detalles!