Cómo mostrar $\sqrt{|x|}$ no es continua de Lipschitz?

Question

$f(x) = \sqrt{|x|}$ es un ejemplo famoso de una función que es no es continua de Lipschitz, sino que es uniformemente continua . Este enlace muestra una explicación detallada de la misma.

Aquí se ofrece la figura de esta función:

Sin embargo, todavía estoy confundido acerca de cómo mostrar $\sqrt{|x|}$ no es continua de Lipschitz?

1. Considere $[-a,a]$ que es compacto. $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ debe estar limitada por $L$ . Este método también se utiliza para demostrar $f(x)$ es una continua uniforme.
2. En $[a,\infty)$ y $(-\infty,-a]$ , $f(x)$ tiene una derivada acotada.

Así que, basado en 1 y 2, $f(x) = \sqrt{|x|}$ es continua de Lipschitz.

No tengo ni idea de cómo demostrar que no es una continua de Lipschitz; hablando claro, no sé cómo distinguir la prueba de la continuidad de Lipschitz de la continuidad uniforme.

Answer 1

Considere sólo el intervalo $[0,a]$ para algunos $a>0$ y supongamos que $f(x)=\sqrt{|x|}$ es Lipschits: $|f(y)-f(x)|\leq L|y-x|$ . Entonces para $x=0$ y $y<a$ que deberíamos tener:

$|\sqrt{y}|\leq L|y|\Leftrightarrow \sqrt y\leq Ly\Rightarrow \frac{\sqrt y}{y}\leq L$ para cada $y>0$ . Pero esto es imposible ya que para $y\rightarrow 0^+$ el LHS tiende a $+\infty$ .

Answer 2

La derivada de $\sqrt{|x|}$ es $\frac{\mathbb{sgn}(x)}{2\sqrt{|x|}}$ . Dejemos que $x_0 = \frac{1}{4L^2}$ . La derivada en $x_0$ es $L$ por lo que la derivada es ilimitada.

Answer 3

La función que parece considerar en 1. ni siquiera está definida en todas partes. ¿Qué debería ser para $x=y$ ? Por lo tanto, este argumento no funciona.

El "problema" se produce en torno a $0$ . Supongamos que la función es Lipschitz con constante $C$ . Entonces $|f(x)-f(0)| \le C |x-0|$ para todos $x$ . Así que $f(x)/|x| = \sqrt{|x|}/|x| \le C$ para todos $x$ lo cual no es cierto.