Sistema de número de la suma de dos números de un dígito

Question

La suma de las cuatro cifras de dos dígitos es $221$. Ninguno de los ocho dígitos 0 y ninguno de ellos son los mismos. Cuál de los siguientes no está incluido entre los ocho dígitos ?

$$(a) \;\;1 \\ (b)\;\; 2 \\ (c)\;\; 3\\ (d)\;\; 4$$

Hay algún atajo para resolver esta pregunta, como tengo la respuesta, que es $(d)\;\; 4$ por el método de prueba y error. Por favor, sugiera

Answer 1

Sugerencia:

$xy+ab+cd+ef=221$

$9(x+a+c+e)+y+b+d+f+(x+a+c+e)=221$

$\equiv(x+a+c+e)+y+b+d+f \equiv 5 \mod 9 $

Ahora usted sabe que número tiene que ser excluidos.

Answer 2

Supongamos que los números se $a_1b_1, \ a_2b_2, \ a_3b_3, \ a_4b_4.$

Luego de $$\begin{array}{cc} a_1b_1& \\ a_2b_2& \\a_3b_3& \\ a_4b_4 &+ \\ \hline \\221 \end{array} $$ llegamos a la conclusión de que sólo tres posibilidades pueden ocurrir.
Ya sea
$b_1+b_2+b_3+b_4=31$ $a_1+a_2+a_3+a_4=19\,,$
$b_1+b_2+b_3+b_4=21$ $a_1+a_2+a_3+a_4=20$ o
$b_1+b_2+b_3+b_4=11$ $a_1+a_2+a_3+a_4=21\,.$
Desde $a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$ son todos diferentes y $1+2+\ldots+9=45$ llegamos a la conclusión de que sólo la segunda posibilidad puede suceder y $4$ no está incluido en los dígitos $a_i,b_i$ ($a_1+a_2+a_3+a_4+b_1+b_2+b_3+b_4=41$).

Answer 3

Es suficiente para saber cuál es el último número modulo $9$.

Desde $10a+b \equiv a+b \pmod 9$, $221 \equiv 5 \pmod 9$, y $1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 \equiv 0 \pmod 9$, si los dígitos no usados es $x$, entonces la suma de todos los dígitos es $221 \equiv 5$, y también es $45-x \equiv -x$.

Por lo $x \equiv -5 \equiv 4 \pmod 9$, y por lo tanto la falta de los dígitos es $4$.

Answer 4

Sugerencia $\ $ Agregar en el número de $\rm\,0\,d\,$ formado por los dígitos que faltan $\rm\,0,d\,$ y el casting de nueves muestra

$\rm\qquad\quad mod\ 9\!:\ \ 2\!+\!2\!+\!1\!+\!d\, \equiv\, 0\!+\!1\!+\!2\!+\cdots + 9\,\equiv\, 0,\ $ es decir $\rm\ 5+d\equiv 0\ \Rightarrow\ d\equiv -5\equiv 4$