Mostrar si un grupo abelian $G$ $\mathbb Q$- estructura de espacio vectorial, entonces es único.

Question

Mostrar si un grupo abelian $G$ $\mathbb Q$- estructura de espacio vectorial, entonces es único.

Sugerencia: mostrar cada elemento debe tener infinita orden. También, mostrar el anillo único homomorphism $\mathbb Z\to \mathbb Q$ es un epimorphism.

He sido capaz de probar ambos consejos, pero no puedo poner dos y dos juntos? Tal vez de usar el hecho de que cada grupo abelian es una $\mathbb Z$ módulo exactamente de una manera, y puesto que los elementos deben tener infinitas orden, el módulo de estructuras de $\mathbb Z$ $\mathbb Q$ debe coincidir?

En ese caso, habría que demostrar que el diagrama creado por el homomorphisms $\phi:\mathbb Z\to\mathbb Q$, $\sigma_1:\mathbb Z\to \mathrm{End}(G)$, y $\sigma_2:\mathbb Q\to \mathrm{End}(G)$ desplazamientos, dado que el $\phi$ $\sigma_1$ son únicos.

Answer 1

Sabemos que el $\mathbb{Z}$-estructura del módulo es único, porque se debe tener $1x=x$, $2x=x+x$, $3x=x+x+x$, etc., y del mismo modo con los negativos.

Ahora sabemos que $\frac{1}{n}x$ debe ser un elemento $w$ satisfacción $nw = x$. Si hay 2 de esos elementos $w$$w'$, $n(w-w')=0$ y multiplicando ambos lados por $\frac{1}{n}$ da $w=w'$. Por lo tanto, no es sólo un elemento que puede ser $\frac{1}{n}x$. Y, por supuesto, $\frac{m}{n}x$ $\frac{1}{n}x$ añadido a sí mismo $m$ ( $m>0$ ), y lo mismo con el negativo racionales.

Por lo que el $\mathbb{Q}$-estructura del módulo es único.