¿Qué significa "establece de forma arbitraria gran medida" significa - - - - - pregunta acerca de $L_p$ incrustaciones

Question

Los siguientes son los resultados de la wikipedia artículo sobre $L_p$ espacio:

una. Vamos $0 ≤ p < q ≤ ∞$. $L_q(S, μ)$ está contenida en $L_p(S, μ)$ fib $S$ no contienen conjuntos de forma arbitraria gran medida;
b. Vamos $0 ≤ p < q ≤ ∞$. $L_p(S, μ)$ está contenida en $L_q(S, μ)$ fib $S$ no contienen conjuntos de arbitrariamente pequeño distinto de cero de la medida.

Aquí están mis preguntas:

1. ¿Qué significa "establece de forma arbitraria gran medida" significa? Es "$S$ no contienen conjuntos de forma arbitraria gran medida" equivalente a "$\mu(S)<+\infty$"?
2. ¿Qué significa "conjuntos de arbitrariamente pequeño distinto de cero de la medida" significa?

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[Añadido:]

Hay un resultado en Otra nota sobre la inclusión $L^p(\mu) ⊂ L^q(\mu)$( por A. Villani, La American Mathematical Monthly, Vol. 92 (1985), Nº 7, 485-487):

Las siguientes condiciones de medir el espacio son equivalentes:

1. $\sup_{E\in{\mathscr A}_{\infty}}\mu(E)<+\infty$
2. $L^p(\mu)\subset L^q(\mu)$ todos los $p,q\in(0,\infty)$ $p>q$

donde ${\mathscr A}_\infty=\{E\in\Sigma:\mu(E)<+\infty\}$.

Esto es similar con la (una) sino $p,q\in(0,+\infty)$.

Answer 1

Elija un número positivo $r$. Qué $S$ tienen conjuntos con la medida más grande que la de $r$? Deos $S$ tienen conjuntos de medida menor que $r$, pero no cero?

Si, para cada valor de $r$ respondió que sí a la primera pregunta, $S$ contiene conjuntos de forma arbitraria gran medida.

Si, para cada valor de $r$ respondió que sí a la segunda pregunta, $S$ contiene conjuntos de arbitrariamente pequeño, distinto de cero de la medida.

Answer 2

Esto es más de un comentario de respuesta a Jack, pero necesito el formato dado por las Rebajas.

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El problema es que la Wikipedia frase es ambigua: y en un modo de lectura, la declaración es incorrecta. Wikipedia contiene:

Vamos $0\leq p\leq q\leq \infty$. $L^q(S,\mu)$ está contenida en $L^p(S,\mu)$ fib $S$ no contienen conjuntos de forma arbitraria gran medida.

Un gran lugar donde está totalmente claro es si la frase "Vamos a $0\leq \ldots$" es parte del "lado izquierdo" de la "iff". El uso de una parada completa . en lugar de una coma , sugeriría que no lo es.

Entonces, si entendemos que "no contiene...", como lo que usted escribió en su pregunta, que es $\mu(S) < \infty$, entonces la afirmación es falsa! Porque como en mi comentario no existe $p,q\in (0,\infty)$ y una medida de espacio $(S,\mu)$ tal que $\mu(S) = +\infty$, mientras que el $L^p \subset L^q$ inclusión sostiene, contradiciendo el "si" de la "iff".

Si interpretamos "no contiene...", como lo Villani escribió, que es $\sup_{A_\infty} \mu(E) < +\infty$, está claro que tenemos un problema con los extremos. Así que ni la interpretación de obras!

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La única forma de corregir la declaración es para colocar correctamente su cuantificadores. Es decir, se puede escribir que

Dada una medida de espacio $(S,\mu)$, las dos condiciones siguientes son equivalentes:

1. $\mu(S) < \infty$
2. Para cada $0 < q \leq p \leq \infty$ la inclusión $L^p \subseteq L^q$ mantiene.

Yo no incluyen el extremo de $0$ como no sé cómo desea definir el $L^0$ espacio al $\mu(S) = + \infty$. Para mostrar que $1\implies 2$ usted sólo tiene que utilizar Hölder/Jensen; para mostrar que $2\implies 1$ acaba de tomar la función de $f\equiv 1$$L^\infty$. La integración en cualquier $L^p$ $p <\infty$ le dice que $S$ tiene medida finita.