Holomorph es isomorfo a normalizador de subgrupo del grupo simétrico?

Question

Deje $G$ ser el holomorph de $H$, y por lo tanto la semidirect producto de $H$$K=Aut(H)$. Si $H$ orden $n$, luego ya he demostrado que, dejando $G$ act en el $n$ a la izquierda cosets de $K$ por la izquierda de la multiplicación da un homomorphism $\pi$ $G$ a $S_n$. Además, ya que los elementos de $H$ puede actuar como coset representantes (que no se muestra), la imagen de $H$ es sólo la izquierda regular la representación de $H$. Ahora tengo que demostrar que el normalizador en $S_n$ $\pi(H)$ es isomorfo a $G$.

Ahora, desde la $G$ normaliza $H$, presumiblemente $\pi(G)$ normaliza $\pi(H)$ (suponiendo que ésta es la representación fiel), así que al menos tiene que $\pi(G)$ está contenida en el normalizador. Pero, ¿cómo puedo mostrar el reverso de contención?

Gracias!

Answer 1

Denotar por $[h]$ la izquierda de la multiplicación por $h\in H$, es decir,, $[h]:H\to H$, $[h]:x\mapsto hx$. Deje $g\in S_n$ ser un bijection $g:H\to H$ que normaliza $[H]$. A continuación, tenemos una automorphism $\overline g\in\text{Aut}[H]$ dado por la regla de $\overline g:[h]\mapsto g[h]g^{-1}$. Como $h\mapsto[h]$ es un isomorfismo $H\to[H]$, se obtiene el correspondiente automorphism $k\in K=\text{Aut}H$$\big[k(h)\big]=\overline g\big([h]\big)$. En otras palabras, para cualquier $x\in H$$h\in H$,$k(h)x=g[h]g^{-1}(x)$, $k(h)x=g\big(hg^{-1}(x)\big)$. Tomando $x:=e:=g(1)\in H$, obtenemos $k(h)e=g(h)$ todos los $h\in H$. Vamos $k'\in K=\text{Aut}H$ ser dado por $h\mapsto e^{-1}he$. A continuación, $ek'k\in G=HK$ actúa sobre la izquierda cosets de $K$ exactamente como $g$. De hecho, en términos de $G=HK$, $g(h)=khk^{-1}e=ek'khk^{-1}{k'}^{-1}$, por lo tanto, $g(hK)=ek'khK$$g=\pi(ek'k)$.