$G$ grupo. $a,b\in G$ . Demostrar que $|a|=|a^{-1}|; |ab|=|ba|$ y $|a|=|cac^{-1}|, \forall c\in G$ .

Question

¿No es obvio para $|a|=|a^{-1}|$ ya que $\langle a\rangle = \langle a^{-1} \rangle$ ?

Para $|ab|=|ba|$ creo que deberíamos ir así: $e=(ab)^n\Rightarrow e=(ab)(ab)^{n-1}\Rightarrow (ab)^{-1}=(ab)^{n-1}\Rightarrow b^{-1}a^{-1}=(ab)^{n-1}\Rightarrow a^{-1}=b(ab)^{n-1}$ Pero me quedo atascado aquí, ya que no sé si pasar de aquí a $e=(ba)^n$ .

Para $|a|=|cac^{-1}|$ ¿tengo que demostrar que $\langle a\rangle = \langle cac^{-1}\rangle$ ?

Answer 1

Para 1) Que $|a|=n$ es decir $a^n=e$

Ahora toma la inversa de ambos lados $(a^n)^{-1}=e^{-1}$ que da $(a^{-1})^n=e$

Answer 2

Para el segundo:

Obsérvese que como $(ab)^n=1$ . Entonces tenemos $(ab)^{n-1}=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ .

Ahora considere $(ba)^n$ : $$(ba)^n=b(ab)^{n-1}a=bb^{-1}a^{-1}a=e.$$

Por lo tanto, $|ba| \Big\lvert |ab|$ .

Ahora piensa, a partir de los últimos cómputos, por qué hay que tener igualdad.

Answer 3

Si he entendido bien su pregunta, y no estoy interpretando mal su notación. La última parte utiliza la segunda parte. Si para todos los $a_1,a_2 \in G$ tenemos $$ |a_1a_2| = |a_2a_1|$$ Entonces dejemos que $a \in G$ y $c \in G$ sea arbitraria, y $a_1 = c$ y $a_2 = ac^{-1}$ . Ahora utilice la segunda propiedad mostrada arriba.

Answer 4

Todas las respuestas y comentarios me ayudaron, pero aquí está mi propia respuesta que trae una solución completa en un solo lugar.

En primer lugar, debemos recordar el siguiente teorema.

Teorema 3.4.iii (XXIX.iii), Álgebra (Hungerford)

Dejemos que $G$ sea un grupo y $a\in G$ . Si $a$ tiene un orden finito $m>0$ entonces $m$ es el menor número entero positivo que $a^m=e$ .

Ahora $|a|=|a^{-1}|$ porque

$|a|=n\Rightarrow a^n=e\Rightarrow (a^n)^{-1}=e^{-1}\Rightarrow (a^{-1})^n = e\Rightarrow |a^{-1}|=n\Rightarrow |a|=|a^{-1}|.$

Y también creo que puedo decir que esta afirmación es cierta porque $\langle a\rangle = \langle a^{-1} \rangle$ .

$|ab|=|ba|$ porque

$(ab)^n=e\Rightarrow (ab)(ab)^n(ab)=(ab)(ab)=a(ba)b\Rightarrow (ab)^n(ab)^{n^2}(ab)^n=a^n(ba)^nb^n\Rightarrow e=a^n(ba)^nb^n\Rightarrow (ab)^{-n}=(ba)^n\Rightarrow ((ab)^n)^{-1}=(ba)^n\Rightarrow e=(ba)^n$

Por lo tanto, $|ab|=|ba|$ .

Y por último, $|a|=|cac^{-1}|$ porque a partir de la afirmación que hemos demostrado más arriba, sabemos que $|xy|=|yx|, \forall x,y\in G$ . Sea $x=c$ y $y=ac^{-1}$ Así que tenemos $|yx|=|ac^{-1}c|=|a|$ y $|xy|=|cac^{-1}|$ , dando como resultado $|a|=|cac^{-1}|$ .

hackeado :)