Problema con el Lebesgue la integral de la función de Dirichlet

Question

De acuerdo a todas las fuentes de $\int\limits_{[0,1]}{{{\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}}\left( x \right)}dx=0$ (Lebesgue la integral de Dirichlet funtion).

Sin embargo, a continuación se construye una secuencia de funciones de ${{f}_{n}}$ que converge a

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)=\Phi (x)$ ${{\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}}\left( x \right)=\Phi (x)$

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{[0,1]}{{{f}_{n}}(x)}dx=\int\limits_{[0,1]}{\Phi (x)}dx=p\in (0,1)$

por lo $p$ es un número arbitrario del intervalo (0,1).

Esto es una contradicción, porque $\int\limits_{[0,1]}{{{\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}}\left( x \right)}dx=0$.

Tal vez alguien va a ser capaz de encontrar un problema en mi razonamiento ...

El mayor problema del método es la suposición de que [\Phi (x)=0] para $x$ que es irracional número en el intervalo [0,1]. En mi opinión, he comprobado que es cierto. ¿Está usted de acuerdo con mi razonamiento (ver más abajo para más detalles).

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Consideremos función característica del conjunto $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ (Dirichlet funtion) ${{\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}}\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 1\text{ for }x\in \mathbb{Q}\cap [0,1] \\ & 0\text{ for }x\notin \mathbb{Q}\cap [0,1] \\ \end{align} \right.$ Deje $\left\{ {{a}_{i}} \right\}_{i=1}^{\infty }$ ser una secuencia que contiene todos los números racionales es decir $\mathbb{Q}=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty }{\left\{ {{a}_{i}} \right\}}$. Vamos a definir la siguiente función ${{f}_{n}}(x)=\left\{ \begin{align} & 1\text{ if }\underset{i\in \{1,...,n\}}{\mathop{\exists }}\,x\in \left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right] \\ & 0\text{ otherwise} \\ \end{align} \right.$

donde $\delta _{i,n}^{+}-\delta _{i,n}^{-}={{\delta }_{n}}$ $p=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }_{n}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \delta _{i,n}^{+}-\delta _{i,n}^{-} \right)}$ y $p\in (0,1)$.

Para cada secuencia de números racionales $\left\{ {{a}_{i}} \right\}_{i=1}^{\infty }$ $1>p>0$ es posible construir los intervalos de $\left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right]$ tal que $p=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }_{n}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \delta _{i,n}^{+}-\delta _{i,n}^{-} \right)}$$\left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right]\cap \left[ {{a}_{j}}-\delta _{j,n}^{-},{{a}_{j}}+\delta _{j,n}^{+} \right]=\varnothing $.

Para ello primero es necesario construir una secuencia de intervalos de $\left[ {{a}_{i}}-\varepsilon _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\varepsilon _{i,n}^{+} \right]$ tal que $1=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\varepsilon }_{n}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \varepsilon _{i,n}^{+}-\varepsilon _{i,n}^{-} \right)}$$\left( {{a}_{i}}-\varepsilon _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\varepsilon _{i,n}^{+} \right)\cap \left( {{a}_{j}}-\varepsilon _{j,n}^{-},{{a}_{j}}+\varepsilon _{j,n}^{+} \right)=\varnothing $.

Para cualquier fija $n>1$ es posible para todos los pedidos de $\{{{a}_{1}},...,{{a}_{n}}\}$ tal que ${{a}_{{{\alpha }_{1}}}}<{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}<...<{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}$. Ahora podemos definir los siguientes números $\varepsilon _{1}^{-}={{a}_{{{\alpha }_{1}}}}$

$\varepsilon _{1}^{+}=\frac{{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2}$

${{\varepsilon }_{1}}=\varepsilon _{1}^{-}+\varepsilon _{1}^{+}$

$\varepsilon _{2}^{-}=\frac{{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2}$

$\varepsilon _{2}^{+}=\frac{{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{3}}}}}{2}$

${{\varepsilon }_{2}}=\varepsilon _{2}^{-}+\varepsilon _{2}^{+}$

...

$\varepsilon _{n-1}^{-}=\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-2}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}$

$\varepsilon _{n-1}^{+}=\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}}{2}$

${{\varepsilon }_{n-1}}=\varepsilon _{n-1}^{-}+\varepsilon _{n-1}^{+}$

$\varepsilon _{n}^{-}=\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}}{2}$

$\varepsilon _{n}^{+}=1-{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}$

${{\varepsilon }_{n}}=\varepsilon _{n}^{-}+\varepsilon _{n}^{+}$

Es posible ver que $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\varepsilon }_{i}}}=1$

$\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\varepsilon }_{i}}}={{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}+...+{{\varepsilon }_{n-1}}+{{\varepsilon }_{n}}=(\varepsilon _{1}^{-}+\varepsilon _{1}^{+})+(\varepsilon _{2}^{-}+\varepsilon _{2}^{+})+...+(\varepsilon _{n-1}^{-}+\varepsilon _{n-1}^{+})+(\varepsilon _{n}^{-}+\varepsilon _{n}^{+})=$

$=\left( {{a}_{{{\alpha }_{1}}}}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}}{2} \right)+\left( \frac{{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{3}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2} \right)+\left( \frac{{{a}_{{{\alpha }_{3}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2} \right.+...+\left. \frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-2}}}}}{2} \right)+$

$+\left( \frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-2}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2} \right)+\left( \frac{{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}+1-{{a}_{{{\alpha }_{n}}}} \right)=$

$={{a}_{{{\alpha }_{1}}}}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{3}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{3}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2}+...$

$+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-2}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-2}}}}}{2}$

$+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}+1-{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}=$

$={{a}_{{{\alpha }_{1}}}}-\frac{{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2}-\frac{{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}}{2}-\frac{{{a}_{{{\alpha }_{3}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{3}}}}}{2}+...$

$+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-2}}}}}{2}-\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}-\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-2}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}}{2}-\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}+\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}}{2}-\frac{{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}}{2}+1-{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}=$

$={{a}_{{{\alpha }_{1}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{1}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}-{{a}_{{{\alpha }_{2}}}}+...+{{a}_{{{\alpha }_{n}}-1}}-{{a}_{{{\alpha }_{n-1}}}}+{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}+1-{{a}_{{{\alpha }_{n}}}}=1$

En cada intervalo de $\left[ {{a}_{i}}-\varepsilon _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\varepsilon _{i,n}^{+} \right]$ es posible encontrar subintervalos $\left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right]$ tal que $\left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right]\subset \left[ {{a}_{i}}-\varepsilon _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\varepsilon _{i,n}^{+} \right]$ y $p=\sum\limits_{i=1}^{n}{l\left( \left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right] \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \delta _{i,n}^{+}-\delta _{i,n}^{-} \right)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }_{i,n}}}$.

Con el fin de hacer que es suficiente para suponer que el ${{\delta }_{i,n}}=p{{\varepsilon }_{i,n}}$ o $\delta _{i,n}^{-}=p\varepsilon _{i,n}^{-},\delta _{i,n}^{+}=p\varepsilon _{i,n}^{+}$.

Verificación $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\varepsilon }_{i}}}=1$ $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{p{{\varepsilon }_{i}}}=p\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\varepsilon }_{i}}}=p1=p$ además, debido a $p\varepsilon _{i,n}^{-}<\varepsilon _{i,n}^{-}$ $p\varepsilon _{i,n}^{+}<\varepsilon _{i,n}^{+}$ $\left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right]=\left[ {{a}_{i}}-p\varepsilon _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+p\varepsilon _{i,n}^{+} \right]\subset \left[ {{a}_{i}}-\varepsilon _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\varepsilon _{i,n}^{+} \right]$. Debido a que para cada una de las $n$ $\int\limits_{[0,1]}{{{f}_{n}}(x)dx}=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\delta }_{n}}}=p$ entonces $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{[0,1]}{{{f}_{n}}(x)dx}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,p=p\in (0,1)$

Debido a que establezca $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ es denso en [0,1], entonces $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\delta _{i,n}^{-}=0$, $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\delta _{i,n}^{+}=0$.

Para todos los fijos ${{a}_{i}}$ hemos $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right]=\left[ {{a}_{i}}-\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\delta _{i,n}^{-} \right]=\left[ {{a}_{i}}-0,{{a}_{i}}+0 \right]=\{{{a}_{i}}\}$ $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\bigcup\limits_{i=1}^{n}{\left[ {{a}_{i}}-{{\delta }_{n}},{{a}_{i}}+{{\delta }_{n}} \right]}=\{{{a}_{i}}\}_{i=1}^{\infty }=\mathbb{Q}\cap [0,1]$

Vamos $\Phi (x)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)$ y x es racional nuber en el intervalo [0,1], entonces

$\Phi (x)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)=1$ $x\in \mathbb{Q}\cap [0,1]$

En el caso límite $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\delta _{i,n}^{-}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\delta _{i,n}^{-}=0$, en función de $\Phi (x)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)$ es 1 sólo para los números racionales en consecuencia, $\Phi (x)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)=0$ de x que es un número irracional en el intervalo [0,1] es decir,

$x\in R\backslash \left( \mathbb{Q}\cap [0,1] \right)$ $\Phi (x)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)=0$

Debido a que $\Phi (x)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{f}_{n}}(x)={{\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}}\left( x \right)$

De acuerdo a la definición de la integral de Lebesgue tenemos $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{[0,1]}{{{f}_{n}}(x)}dx=\int\limits_{[0,1]}{{{\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}}\left( x \right)}dx=p\in (0,1)$

lo cual es una contradicción, porque $\int\limits_{[0,1]}{{{\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}}\left( x \right)}dx=0$.

Answer 1

Su error (en un buen intento) parece ser en las siguientes líneas:

"Para todos los fijos ${{a}_{i}}$ hemos $\lim_{n\to \infty} \left[ {{a}_{i}}-\delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\delta _{i,n}^{+} \right]=\left[ {{a}_{i}}-\lim_{n\to \infty} \delta _{i,n}^{-},{{a}_{i}}+\lim_{n\to \infty} \delta _{i,n}^{-} \right]=\left[ {{a}_{i}}-0,{{a}_{i}}+0 \right]=\{{{a}_{i}}\}$ $\lim_{n\to \infty} \bigcup\limits_{i=1}^{n}{\left[ {{a}_{i}}-{{\delta }_{n}},{{a}_{i}}+{{\delta }_{n}} \right]}=\{{{a}_{i}}\}_{i=1}^{\infty }=\mathbb{Q}\cap [0,1]$"

Tienes razón en que se desea calcular el $\lim_{n\to \infty} \bigcup\limits_{i=1}^{n}{\left[ {{a}_{i}}-{{\delta }_{n}},{{a}_{i}}+{{\delta }_{n}} \right]}$. Sin embargo, lo que en realidad se han calculado (en el resto de la línea) es $\lim_{n\to \infty} \bigcup\limits_{i=1}^{n} \big( \lim_{m\to \infty} {\left[ {{a}_{i}}-{{\delta }_{m}},{{a}_{i}}+{{\delta }_{m}} \right]} \big)$, que no es la misma cosa.

Aquí es una manera de ver que su construcción no es lo que usted piensa es: su argumento era que algunos $p\in(0,1)$, pero se nota que es completamente el mismo para$p=1$. En este caso, cada una de las $f_n$ es simplemente $1$ sobre todo $[0,1]$, y por lo tanto también lo es $\lim_{n\to\infty} f_n$. Pero en el error que he copiado más arriba, la lógica conclusión de igual de bien que $\lim_{n\to\infty} f_n$ es la función de indicador de $\mathbb Q$.