Mostrar $x=0$ y $x=1$ son las únicas soluciones enteras

Question

Intento demostrar que las únicas soluciones a $x^2-x+1=y^2$ son cuando $x=0$ y $x=1$ . Lo único que se me ocurre es completar el cuadrado da $x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$ que claramente no es un cuadrado perfecto. ¿Es suficiente? ¿Debo utilizar la inducción?

Answer 1

Obsérvese que tenemos (para positivo $x$ ): $$ (x-1)^2\leq x^2-x+1\leq x^2 $$ por lo que su expresión se encuentra entre dos cuadrados consecutivos. Ahora sólo tienes que comprobar la igualdad a ambos lados, y habrás encontrado todos los casos.

Answer 2

$$x^2-x+1=y^2\\ 4x^2-4x+4=4y^2 \\ (2y)^2-(2x-1)^2=3 \\ \left( 2y-2x+1\right) \left(2y+2x-1 \right)=3 $$

Answer 3

Multiplicar por $4$ para obtener $$(2x-1)^2+3=4y^2$$ o $$4y^2-(2x-1)^2=3$$ o $$(2y-2x+1)(2y+2x-1)=3$$

Y los factores están en algún orden $3,1$ o $-3, -1$

La suma de los dos factores es $4y=4, -4$ respectivamente, por lo que $y=\pm 1$

La diferencia entre ambos factores es $4x-2=\pm 2$ así que $x=0,1$

Las cuatro combinaciones funcionan de verdad.

Answer 4

Multiplicar por la ecuación por $4$ y completar el cuadrado para $x$ . Tenemos \begin{eqnarray*} (2x-1)^2+3=(2y)^2 \\ (2y+2x-1)(2y-2x+1)=3 \end{eqnarray*} Así que \begin{eqnarray*} \cases{2y+2x-1=3 \\ 2y-2x+1=1} \text{or} \cases{2y+2x-1=-3 \\ 2y-2x+1=-1} \end{eqnarray*} o \begin{eqnarray*} \cases{2y+2x-1=1 \\ 2y-2x+1=3} \text{or} \cases{2y+2x-1=-1 \\ 2y-2x+1=-3} \end{eqnarray*} así que $(x,y)$ tiene soluciones $\color{blue}{(1, \pm 1)}$ y $\color{green}{(0, \pm 1)}$ .