Dado $\alpha$, podemos encontrar siempre $\beta$ tanto $\sin(\alpha+\beta)$ $\sin(\alpha-\beta)$ son racionales?

Question

Dado $\alpha$, podemos encontrar siempre $\beta$ tanto $\sin(\alpha+\beta)$ $\sin(\alpha-\beta)$ son racionales?

Answer 1

Supongamos $\sin a$ es trascendental. Luego de la adición y de la substracción de las fórmulas para el seno, los dos valores de $\sin(a+b),\ \sin(a-b)$ son racionales iff cada una de las $r=\sin a \cos b$ $s=\cos a \sin b$ son racionales. Suponiendo $r$ es racional, desde la primera de estas $\cos b=r/\sin a.$ $$s=\cos a \sin b = (\pm \sqrt{1-\sin^2 a})(\pm \sqrt{1-r^2/\sin^2 a}).\tag{2}$$ Si esto fuera racional, ajustarlo llevaría a un polinomio (con coeficientes racionales) habiendo $\sin a$ cero, en contra de la elección de $\sin a$ como trascendental.

Agregado: Si denotamos $\sin a$$x,$, entonces el cuadrado de $(2)$ conduce a la ecuación de cuarto grado $$x^4 +(s^2-r^2-1)x^2+r^2=0.$$ Este es cuadrática en $x^2$ con coeficientes racionales, de modo que en lugar de la más fuerte suposición de que $\sin a$ es trascendental, podemos obtener la contradicción sólo asumiendo que no es edificable.