La determinación de si un cociente de $\Bbb Q[t_1, t_2, \ldots]$ es Noetherian

Question

Deje $L = \Bbb Q[t_1, t_2, \ldots]$ (polinomio anillo en infinidad de variables). Deje $I$ a ser el ideal de $L$ generado por $t_1^2$ $t_i - t_{i+1}^2$ todos los $i$. Me permite suponer que $t_1 \notin I$.

La pregunta es, es $R = L/I$ Noetherian?

No tengo idea de cómo atacar este problema. $L$ sí es muy claro que no Noetherian, y $I$ no finitely generado. La cosa se me permite asumir que me da que para todos los $i$, $t_i \notin I$ ya que si $t_2 \in I$$t_1 - t_2^2 + t_2^2 \in I$, lo $t_1 \in I$. Y repita para obtener $t_i \notin I$ todos los $i$.

Hace esto tal vez me da una infinita cadena de ideales en $R$:

$$Rt_1 < Rt_1 + Rt_2 < Rt_1 + Rt_2 + Rt_3 <\ldots$$

Esto parece demasiado fácil y no debe trabajar, supongo que porque tal vez ellos no son distintos porque algunas cosas termina en $I$.

No entiendo lo $R$ realmente parece o cómo sus ideales de comportarse, cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Este anillo no es Noetherian. Para ver esto, considere el desplazamiento de izquierda mapa $$\tilde\pi:L\rightarrow L$$ se define mediante la toma de $x_1$$0$$x_{i+1}$%#%. Observar que $x_i$ observando los generadores de $\tilde\pi(I)\subseteq I$, por lo tanto, esta desciende a un mapa de $I$.

Ahora, observa que $\pi:R\rightarrow R$$ $$\pi^n(t_{n})=0$$ Ya que se puede asumir $$\pi^n(t_{1+n})=t_{1}$, estas ecuaciones testimonio de que las inclusiones $t_1\not\in I$$ son todos estricto, por lo tanto tenemos una infinita ascendente de la cadena de ideales.

Un poco más de trabajo, señalando que $$\ker \pi < \ker \pi^2 < \ker \pi^3 <\ldots$, muestra que $\tilde \pi(I)=I$ ascensores a un ideal de a$\ker \pi^n$$L$, lo $I+\ker \tilde \pi^n$ se $\ker \pi^n$, por lo que esta es exactamente la cadena de usted sugiere.

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La intuición para tomar aquí es que $Rt_1+\ldots+Rt_n$ se define básicamente a ser una raíz cuadrada de $t_{i+1}$, e $t_i$ se define como una raíz cuadrada de $t_1$. Estas relaciones tienen la propiedad de que podemos simplemente "shift" toda la secuencia al revés, mientras que la preservación de las relaciones que sostienen entre los generadores de $0$.

Usted podría también escribir este anillo explícitamente directo como el límite de una secuencia de anillos, donde se definen $L$ y definir adjuntar mapas de $L_i=\mathbb Q[x]/(x^{2^i})$$f_i:L_i\rightarrow L_{i+1}$. Esto le da una forma más o menos explícita, de forma que el anillo y hace que sea bastante fácil trabajar con los ideales directamente.