Mismo Valor Esperado pero con diferentes variaciones. Es $E[U(X)] \ge E[U(Y)]$?

Question

Deje $U: \mathbb R -> \mathbb R$ ser una función cóncava, y deje $X$ ser una variable aleatoria con una distribución normal, el valor esperado $\mu$, y la desviación estándar $\sigma$. Deje $\lambda \gt 1$, y deje $Y$ ser una variable aleatoria con una distribución normal, el valor esperado $\mu$, y la desviación estándar $\mu \sigma$.

(a)Probar que $U(\mu + c) + U(\mu-c) \ge U(\mu + c\sqrt{\lambda}) + U(\mu - c\sqrt{\lambda})$ todos los $c \gt 0$

(b) cambiando apropiado varible, y el uso de una), demuestran que, a $E[U(X)] \ge E[U(Y)]$

Sólo puedo saber la desigualdad de Jensen que es $U[E(X)] \ge E[U(X)]$. No tengo idea de cómo demostrar a) y b). Puede usted ayudarme por favor? He renunciado a las estadísticas de un largo tiempo así que aprecio mucho por su ayuda. Gracias.

Answer 1

0) creo que tienes algunos errores tipográficos en la pregunta. Hagamos las cosas más claras, asumiendo $Y$ desviación estándar $\left(\sqrt{\lambda}\right) \sigma$.

1) Dibuje una imagen y comparar los puntos medios de los dos segmentos de línea.

2) Definir "centrado densidades":

\begin{align} \tilde{f}_X(x) &= f_X(x+\mu)\\ \tilde{f}_Y(x) &= f_Y(x + \mu) \end{align} Tenga en cuenta que $\tilde{f}_X(c)=\tilde{f}_X(-c)$ $\tilde{f}_Y(c) = \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\tilde{f}_X\left(\frac{c}{\sqrt{\lambda}}\right)$ todos los $c \in \mathbb{R}$. Creo que este problema quiere usted hacer el cálculo:

\begin{align} E[U(X)] &= \int_{c=0}^{\infty} U(\mu+c)\tilde{f}_X(c)dc + \int_{c=0}^{\infty} U(\mu-c)\tilde{f}_X(-c)dc\\ &= \int_{c=0}^{\infty} \tilde{f}_X(c)[U(\mu+c)+U(\mu-c)]dc\\ &\geq \ldots \end{align}

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Una declaración más general que no requiere de la densidad de $X$ a ser simétrica alrededor de la media es este:

Deje $g:\mathbb{R}^N\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función convexa. Deje $X$ ser un vector aleatorio en $\mathbb{R}^N$ $E[X]=0$ y deje $Y=\theta X$ algunos $\theta \in [0,1]$.

Reclamo: $E[g(Y)]\leq E[g(X)]$.

Prueba: Definir la función convexa $h(x) = g(x)-g(0)$. A continuación, $h(0)=0$ y tenemos: \begin{align} E[h(Y)] &= E[h(\theta X)]\\ &= E[h(\theta X + (1-\theta)0)]\\ &\leq E[\theta h(X) + (1-\theta)h(0)]\\ &=\theta E[h(X)] \end{align} Sin embargo, $E[h(X)] \geq h(E[X])=h(0)=0$, y por lo $\theta E[h(X)]\leq E[h(X)]$. De ello se desprende que $E[h(Y)]\leq E[h(X)]$. Por lo tanto: $$ E[g(Y)-g(0)] \leq E[g(X)-g(0)]$$ $\Box$