Una función, $u$, $\mathbb R^n$ normalmente se dice que ser armónico si $\Delta u=0$ donde $\Delta$ es el operador Laplaciano $\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$. Así que, obviamente, de acuerdo a esta definición, $u$ debe ser dos veces diferenciable y por lo tanto continua. Sin embargo, si $u$ es de al menos continuo, siendo armónico es equivalente a la condición de que el valor promedio de $u$ en cualquier esfera con centro en un punto de $p$ es en realidad igual a $u(p)$: $$u(p)=\frac{1}{Vol(B_r(p))}\int_{B_r(p)}u\, dV.$$ Mi pregunta es si hay alguna de las funciones integrables $u$ para que la ecuación anterior se aplica a todos los $r$$p$, pero para los que $u$ no es continua.
Respuestas
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En el interior de su dominio, una función armónica es infinitamente derivable (incluso con la media del valor de la propiedad). Sin embargo, en el límite de su dominio, se puede limitar a una función discontinua.
Valor medio de la Propiedad: $u(x)=\frac{1}{\Omega_nr^n}\int_{B_r(x)}u(v)\;\mathrm{d}v$ cualquier $r>0$, de modo que $B_r(x)\subset\mathrm{Dom}(u)$ donde $\Omega_n$ es el volumen de la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^n$.
Definir $\displaystyle\phi_r(s)=\left\{\begin{array}{cl}e^{s^2/(s^2-r^2)}&\text{for }0\le s<r\\0&\text{for }s\ge r\end{array}\right.\hspace{.25in}$ $\Phi_r(x)=\phi_r(|x|)$ $C_c^\infty(\mathbb{R}^n)$
Podemos promedio de la Media del Valor de la Propiedad a través de un rango de esfera radios de: $$ \begin{align} u(x)&=\frac{1}{\int_0^r\Omega_ns^n\phi_r^\prime(s)\mathrm{d}s}\int_0^r\int_{B_s(x)}u(y)\;\mathrm{d}y\;\phi_r^\prime(s)\;\mathrm{d}s\\ &=\frac{1}{\int_0^r\phi_r(s)n\Omega_ns^{n-1}\mathrm{d}s} \int_0^r\phi_r(s)\int_{S_s(x)}u(y)\;\mathrm{d}\sigma(y)\;\mathrm{d}s \\ &=\frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n}\Phi_r(y)\mathrm{d}y} \int_{\mathbb{R}^n}\Phi_r(y-x)u(x)\;\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{\int_{\mathbb{R}^n}\Phi_r(y)\mathrm{d}y}\Phi_r*u(x) \end{align} $$ Desde $\Phi_r$ está en $C^\infty$, $u$ debe ser también.
Por lo tanto, el Valor medio de la Propiedad implica $C^\infty$ en el interior del dominio.
tooshel
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Tutul
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Yo diría que "depende". Yo estaba bastante sorprendido por el siguiente ejemplo, se muestra a mí por un colleauge el otro día. Caída de los supuestos que $u$ es localmente integrable, las cosas extrañas pueden suceder!
Deje $f(z) = \exp(-1/z^4)$, y deje $u(x,y) = \Re f(x+iy)$. A continuación, $u$ es claramente armónica fuera del origen. Extender $u$ a todo el avión, por poner $u(0,0) = 0$. Entonces (fuera del origen) $$ u(x,0) = \exp(-1/x^4) \quad\text{and}\quad u(0,y) = \exp(-1/y^4). $$ No es difícil ver que las dos derivadas parciales de $u$ existen en el origen, y de hecho un poco más de trabajo muestra que el mismo tiene para la de segundo orden en derivadas parciales. (Sin embargo $u$ es, por supuesto, no es continua en el origen, y tampoco lo es cualquiera de sus derivados.) Todos los derivados de arriba son de hecho iguales a $0$! En otras palabras, la función de $u$ satisface "de Laplace de la ecuación" $$ u''_{xx} + u''_{yy} = 0$$ en todas partes en $\mathbb{R}^2$. Un momento de la contemplación también muestra que $u$ no ser integrable en cualquier barrio de el origen, y por lo tanto no define una distribución.
