Si usted tiene dos sobres, y ...

Question

Supongamos que tienes dos sobres. Ambos sobres de dinero en ellos, y dicen que uno de los sobres tiene el doble de dinero tanto como el otro. Supongamos que usted escoja uno de los sobres. En caso de que cambie a la otra?

Intuitivamente, usted no sabe nada acerca de cualquiera de los sobres, así que sería ridículo decir que usted debe cambiar a la otra sobre para maximizar su esperado dinero.

Sin embargo, consideran que este argumento. Deje $x$ será la cantidad de dinero en el sobre que has elegido. Si $y$ es la cantidad de dinero en el otro sobre, entonces el valor esperado es igual a

$$E(y) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x\right) + \frac{1}{2}\left(2x\right) = \frac{5}{4} x$$

Pero $5x/4 > x$, por lo que debe cambiar!

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El artículo de la Wikipedia dice que $x$ es sinónimo de dos cosas diferentes, por lo que este razonamiento no funciona. Me dicen que esto no es válida la resolución.

Considere la posibilidad de la apertura de los sobres a los que escoger, y la búsqueda de $\$10$ inside. Then you can run the expected value calculation to get $$E(y) = \frac{1}{2} \cdot \$5+\frac{1}{2} \cdot \$20 = \$12.50$$

Esto significa que si abre uno de los sobres y encontrar $\$10$, you should switch to the other envelope. The $\$10$ no sirven para dos cosas distintas, que literalmente significa $\$10$.

Pero usted no tiene que abrir el sobre para ejecutar este cálculo, sólo se puede imaginar lo que hay dentro, y ejecutar el cálculo que se basa en eso. Esto es lo que "Vamos a $x$ al monto en el sobre". El problema con este argumento es que no se que $x$ es sinónimo de dos cosas diferentes.

Entonces, ¿cuál es el problema?

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Las preguntas anteriores en el intercambio de la pila ha dado la resolución que acabo de decir, yo no estaba satisfecho, así que por favor, no marque esta como un duplicado. Quiero un diferente resolución, o una explicación más satisfactoria de por qué $x$ soporte para dos cosas distintas.

Al parecer todavía hay investigaciones publicadas sobre este problema - tal vez no es tan obvia?

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Creo que hay algo sutil mal con la premisa. Porque no hay una uniforme distribución de probabilidad en $\mathbb{R}$, con afirmaciones como "aleatorio número real" no están bien definidos. Igualmente, creo que "uno de los sobres tiene el doble de dinero tanto como el otro" supone cierta distribución de probabilidad en $\mathbb{R}$, y tal vez nuestro valor esperado de cálculo, se asume que esta distribución es uniforme, lo cual no puede ser ...

Answer 1

La suposición de que no es realista es que hay un $\frac12$ de probabilidad de que el otro sobre contiene dos veces el dinero. Siendo realistas, hay una distribución subyacente de los valores y de la distribución determina la probabilidad de que una determinada cantidad que sea menor.

1. El análisis de los Dos Sobres Paradoja

Deje que el valor de un par de sobres de (POE) de ser el menor de los valores de los sobres. Deje que el pdf de el valor de la POE ser $f(a)$. Es decir, la probabilidad de que el valor de un POE es entre el$a$$a+\mathrm{d}a$$f(a)\,\mathrm{d}a$.

El valor esperado de una elegidos al azar sobre es $$ \begin{align} E &=\frac12\int f(a)\,a\,\mathrm{d}a+\frac12\int f(a)\,2a\,\mathrm{d}a\\ &=\frac32\int f(a)\,a\,\mathrm{d}a\tag{1} \end{align} $$ Vamos a suponer que esto existe

2. Probabilidades Condicionales

La probabilidad de que el valor del POE fue de entre $\frac a2$ $\frac a2+\frac{\mathrm{d}a}2$ y que hemos elegido el más grande es $\frac12f\left(\frac a2\right)\frac{\mathrm{d}a}2$. La probabilidad de que el valor del POE fue de entre $a$ $a+\mathrm{d}a$ y que hemos elegido el más pequeño es $\frac12f(a)\,\mathrm{d}a$. Por lo tanto, la probabilidad de que el valor de la envolvente que hemos elegido es entre el$a$$a+\mathrm{d}a$$\frac14\left(f\left(\frac a2\right) + 2 f(a)\right)\mathrm{d}a$. Por lo tanto, definimos $$ P(a)=\frac14\left[f\left(\frac a2\right) + 2 f(a)\right]\etiqueta{2} $$ Además, dado que el valor de la envolvente, elegido entre los $a$$a+\mathrm{d}a$, la probabilidad de que hemos elegido el sobre con el valor más grande es $$ L(a)=\frac{f\left(\frac a2\right)}{f\left(\frac a2\right)+2f(a)}\etiqueta{3} $$ y la probabilidad de que hemos elegido el sobre con el valor más pequeño es $$ S(a)=\frac{2f(a)}{f\left(\frac a2\right)+2f(a)}\etiqueta{4} $$ Aquí es donde la presunción no realista se cae a pedazos. Sin el conocimiento de $f$, no podemos saber las probabilidades condicionales $L$$S$; por lo general no $\frac12$$\frac12$.

3. Estrategias de

Cerciórese Siempre De Que
Supongamos que cambiar todo el tiempo. A continuación, nuestro valor esperado es $$ \begin{align} &\int\left[L(a)\frac a2+S(a)2a\right]P(a)\,\mathrm{d}a\\ &=\frac14\int\left[f\left(\frac a2\right)\frac a2+2f(a)\,2a\right]\,\mathrm{d}a\\ &=\frac32\int f(a)\,a\,\mathrm{d}a\\[8pt] &=E\tag{5} \end{align} $$

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Manténgase Siempre
Supongamos que permanecer todo el tiempo. A continuación, nuestro valor esperado es $$ \begin{align} &\int\left[\vphantom{\int}L(a)\,a+S(a)\,a\right]P(a)\,\mathrm{d}a\\ &=\frac14\int\left[f\left(\frac a2\right)\,a+2f(a)\,a\right]\,\mathrm{d}a\\ &=\frac32\int f(a)\,a\,\mathrm{d}a\\[8pt] &=E\tag{6} \end{align} $$ Por lo tanto, el valor esperado es $E$ si cambiamos todo el tiempo o de estancia. Este es reconfortante desde la intuición dice que el cambio no debe ayudar.

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Mejor Estrategia
Sin embargo, hay una estrategia que nos da un mejor valor esperado. Elija cualquier función de $k:[0,\infty)\to[0,1]$ tal que $k(2a)\gt k(a)$; una monótona creciente en función, por ejemplo. Si el sobre tiene valor $a$, mantenerlo con una probabilidad de $k(a)$ y el interruptor de otra manera. Entonces el valor esperado es $$ \begin{align} &\int L(a)\left[k(a)a+(1-k(a))\frac a2\right]P(a)\,\mathrm{d}a\\ &+\int S(a)\left[\vphantom{\int}k(a)a+(1-k(a))2a\right]P(a)\,\mathrm{d}a\\[3pt] &=\frac14\int f\left(\frac a2\right)\left[k(a)a+(1-k(a))\frac a2\right]\,\mathrm{d}a\\ &+\frac14\int2f(a)\left[\vphantom{\int}k(a)a+(1-k(a))2a\right]\,\mathrm{d}a\\[3pt] &=\frac32\int f(a)\,a\,\mathrm{d}a +\frac12\int f(a)\left[\vphantom{\int}k(2a)-k(a)\right]a\,\mathrm{d}a\\[3pt] &=E+\frac12\int f(a)\left[\vphantom{\int}k(2a)-k(a)\right]a\,\mathrm{d}a\tag{7} \end{align} $$ que, si $k(2a)\gt k(a)$, es mejor que $E$. Si $k(a)$ es constante, como en las estrategias anteriores, el valor esperado es $E$.

Answer 2

Mi Opinión: no utiliza la noción de variables aleatorias correctamente. Usted no puede tener ese $E[Y]=X$ si estas son variables aleatorias. $E[Y]$ es un número fijo, no una variable aleatoria. Así que tu razonamiento es incorrecto. Y, yo creo, en realidad se reduce a cómo definir lo $X$$Y$. No se puede ser vago acerca de eso y esperar para aplicar técnicas matemáticas a una mala definición de la cantidad con resultados significativos.