Cómo resolver la ecuación diferencial $xx'' = (x')^2$?

Question

Hay un diferencial dada: $$xx'' = (x')^2,$$ donde $x' \neq 0.$
Traté de solucionar este problema, pero no puedo ver la sustitución adecuada.

Answer 1

Creo que

$$ \frac{\ddot x}{\dot x} = \frac{\dot x}{x}\Rightarrow \frac{d}{dt}\ln(\dot x) = \frac{d}{dt}\ln (x) $$

así

$$ \ln(\dot x) = \ln(x) + C \Rightarrow \dot x = C_1 x\Rightarrow x = C_2e^{C_1 t} $$

Answer 2

El comentario visto aquí utiliza un "truco". Aquí es una más de las soluciones estándar.

La variable independiente que no se representa de forma explícita para que usted tenga un autónomas ecuación. Dado esto, pone en $u=x'$. Entonces

$$x''=\frac{d}{dt}u(x(t))=\frac{du}{dx}\, x'=u\,\frac{du}{dx}$$

usando la Regla de la Cadena. Así

$$x\cdot u\cdot \frac{du}{dx}=u^2$$

Dividir por $u$ y resolver la ecuación separable que los resultados, a continuación, sustituir $x'$ $u$ a que la primera integración de conseguir otro de primer orden de la ecuación que se resuelve fácilmente.

Answer 3

Con la sustitución de $$v(x)=\frac{dx}{dt},$$ obtenemos $$x\frac{dv(x)}{dx}v(x)=(v(x))^2.$$ Esto puede ser escrito como $$-v(x)\left(-x\frac{dv(x)}{dx}+v(x)\right)=0,$$ así que o $v(x)=0$ o $$\frac{dv(x)}{dx}=\frac{v(x)}{x}$$ y esto es $$\int\frac{\frac{dv(x)}{dx}}{v(x)}dx=\int\frac{1}{x}dx.$$ Se puede terminar?

Answer 4

$$xx'' = (x')^2,$$ Dividir por $x^2 \,\, x\neq 0)$ $$\frac {x''}x = \frac {(x')^2}{x^2}$$

Tenga en cuenta que $$(\frac {x'}x)'= \frac {x''}x-\frac {x'^2}{x^2}$$ Por lo tanto $$\frac {x''}x = \frac {(x')^2}{x^2} \implies (\frac {x'}x)' =0$$ $$\frac {x'}x =K_1 \implies \ln|x|=K_1t+K_2 \implies x=K_2e^{K_1t} $$