Prueba cualquiera de los cinco puntos de determinar una cónica

Question

Teorema de Hay una cónica a través de cualquiera de las cinco $\color{red}{\textit{pairwise distinct }}$ puntos en un avión real. $(1)$ Es singular si y sólo si no hay cuatro de los puntos de colinear; $(2)$ Es no degenerada si y sólo si no hay tres puntos son colineales .

Cómo probar este teorema ,sólo la aplicación de algunas teorías de álgebra lineal(incluyendo la matriz)？

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Deje $\textbf{p}_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,2,3,4,5.$, los cinco puntos en el plano .

Considere un sistema homogéneo $\textbf{Ax}=\textbf{0}$ cuya matriz de coeficientes es

$\textbf{Un}= \begin{pmatrix} x_{1}^{2}& x_{1}y_{1}& y_{1}^{2}& x_{1}& y_{1}& 1\\ x_{2}^{2}& x_{2}y_{2}& y_{2}^{2}& x_{2}& y_{2}& 1 \\ x_{3}^{2}& x_{3}y_{3}& y_{3}^{2}& x_{3}& y_{3}& 1 \\ x_{4}^{2}& x_{4}y_{4}& y_{4}^{2}& x_{4}& y_{4}& 1\\ x_{5}^{2}& x_{5}y_{5}& y_{5}^{2}& x_{5}& y_{5}& 1 \end{pmatrix}; $ $\qquad\qquad\textbf{x}$ = $\begin{pmatrix} A\\ B\\ C\\ D\\ E\\ F \end{pmatrix};$ $\qquad\qquad\textbf{0}$=$\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}.$

$\textbf{A}_{i}(i\in\{1,2,3,4,5,6\})$ $5\times 5$ plaza de la matriz obtenida al eliminar el $i^{th}$ columna de $\textbf{A}.$ $\\$

Entonces el teorema anterior es equalvlity de la siguiente declaración de la algebraicas punto de vista.

$(1){'} $ $rank(A)=5$ y al menos uno de $\textbf{A}_{1},\textbf{A}_{2},\textbf{A}_{3}$ es nonsingular. $\Longleftrightarrow $ $\forall\quad k_{1},k_{2},k_{3},k_{4}\in \{1,2,3,4,5\} $y $k_{1}<k_{2}<k_{3}<k_{4}$,$ rango(\begin{pmatrix} x_{k_{1}}& y_{k_{1}}& 1\\ x_{k_{2}}& y_{k_{2}}& 1 \\ x_{k_{3}}& y_{k_{3}}& 1\\ x_{k_{4}}& y_{k_{4}}& 1 \end{pmatrix})=3.$

$(2){'}$ Una cónica a través de $\textbf{p}_{i}=(x_{i},y_{i}),i=1,2,3,4,5$ es no degenerada.$\Longleftrightarrow $ $ \forall \quad k_{1},k_{2},k_{3}\in \{1,2,3,4,5\} $y $k_{1}<k_{2}<k_{3}$,$ rango(\begin{pmatrix} x_{k_{1}}& y_{k_{1}}& 1\\ x_{k_{2}}& y_{k_{2}}& 1 \\ x_{k_{3}}& y_{k_{3}}& 1 \end{pmatrix})=3.$

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Hasta ahora, cómo probar $(1){'}$,$(2){'}$ espera,sólo el uso de algunas teorías de álgebra lineal(incluyendo la matriz)？

Answer 1

Comience con (2). Supongamos que hay tres puntos colineales en la cónica. O en otras palabras, existe una línea que cruza la cónica en (al menos) tres posiciones. La línea puede ser descrito como $\{p+\lambda v\mid\lambda\in\mathbb R\}$ (o quizás otra de $\mathbb R$), por lo que hay tres valores de $\lambda$ para el cual la ecuación de la cónica es satisfecho. La ecuación, sin embargo, es sólo de segundo grado en $\lambda$. El único polinomio cuadrático con más de dos ceros es el polinomio nulo. Así, toda la línea a través de los tres puntos pertenece a la cónica. Si se define una cónica degenerada como uno que contiene una línea recta, que se realizan. Lo contrario puede que tenga vínculo con su definición de una cónica degenerada.

Por el contrario, cada cónica degenerada consta de dos (no necesariamente distintos) líneas. Si usted escoge cinco puntos a partir de estos, no se puede evitar, al menos, tres de ellos que son colineales. Si no hay tres definiendo los puntos son colineales, el resultado es una cónica no puede ser degenerada.

Con esto establecido, se puede considerar diferentes casos de (1). Por el momento, mejor restringir la declaración de pares de puntos distintos, pero siéntase libre de revisar las no diferenciadas caso de que después, a pesar de que sabe de su comentario de que el pleno de la conclusión no puede llevar a cabo.

• (a) Si no hay tres puntos colineales, la cónica no degenerada (conocido) y único (se muestra).
• (b) Si hay tres puntos colineales pero no cuatro puntos colineales, la cónica ser degenerada (conocido) y único (se muestra).
• (c) Si hay cuatro puntos colineales, la cónica ser degenerada (conocido) y no única (se muestra).

(a) Suponga que tiene dos diferentes cónicas $\mathcal C_1$ $\mathcal C_2$ pasando a través de $\mathbf p_1$ a través de $\mathbf p_5$. Elegir un punto de $\mathbf p_6$ arbitrariamente en la línea entre el$\mathbf p_1$$\mathbf p_2$. Mostrar que existe una combinación lineal de (el parámetro de vectores de) $\mathcal C_1$$\mathcal C_2$. Que combinación lineal pasará a través de $\mathbf p_1$ a través de $\mathbf p_6$, que incluye tres puntos colineales. Resto se deja como ejercicio.

(b) Imagen de los tres puntos en una línea, dos en otra, y a su vez que en el álgebra.

(c) Imagen de cuatro puntos en una línea, y ver cómo la segunda línea a través del punto puede ser elegido arbitrariamente. Convertir esto en álgebra.

Espero que esto le dio algunos consejos sobre cómo abordar el problema. Traté de ser detallado en el comienzo para empezar, y más incompleto hacia el final para darle espacio a encontrar su propio enfoque.