Demostrar que la unión de conjuntos completos no es necesariamente completo

Question

$\textbf{Proof: }$ Deje $X=\mathbb{R}$ y considerar la posibilidad de $A_n=[\frac{1}{n},1],n\in\mathbb{N}$. Tenemos que $A_\delta$ intervalo cerrado en $\mathbb{R}$ están completas.

Por lo tanto $A_n$ es completa en $\mathbb{R},\forall n\in\mathbb{N}$.

A continuación,$\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A_n}=\left(0,\frac{1}{n}\right]$.

$A_\delta\{\frac{1}{n}\}$ es una secuencia de Cauchy en $\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A_n}$ sin embargo no se tiene un punto límite en $\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A_n}$.

Por lo tanto $\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{A_n}$ no es completa.

Creo que tengo el quid de la cuestión, tal vez me estoy perdiendo algunos de los factores clave o podría haber una mejor manera de probar esto. Cualquier consejo se agradece. Gracias.

Answer 1

Un contraejemplo es perfectamente válido manera de demostrar que algo no es siempre el caso, y usted tiene una perfectamente buena contraejemplo.

Como para la prueba en particular, no sé lo $A_\delta$ es. En realidad, si usted toma la prueba de que usted tiene, y simplemente borrar los dos $A_\delta$ que has escrito, a continuación, lee bien, aparte de un par gramaticales hipo que no tienen nada que ver con las matemáticas o la lógica.

Edit: al Parecer me perdí que había escrito $\bigcup A_n=(0,1/n]$. Que debe, naturalmente, ser $(0,1]$.

Answer 2

Lo que hizo está bien, excepto que $\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n=(0,1]$.

Un simple ejemplo sería tomar $A_n=\left\{\frac1n\right\}$. A continuación, cada una de las $A_n$ es completa, sino$$\bigcup_{n\in\mathbb N}A_n=\left\{\frac1n\,\middle|\,n\in\mathbb N\right\},$$, que no lo es.

Answer 3

Esta prueba me parece innecesariamente complicado. Usted pidió "una mejor manera de probar esto"; aquí está uno.

Deje $X$ ser cualquier no-juego.

Deje $A_x=\{x\}$ por cada elemento de a$x$$X$.

A continuación, cada una de las $A_x$, un ser finito, es trivialmente completa, pero su unión es $X$ que es incompleta.

(Daniel Wainfleet del ejemplo anterior es un caso especial de esto.)

Esto es mucho más simple de lo que yo me pregunto si no he entendido mal la pregunta. Está usted seguro de que no fue preguntando a demostrar que una finito de la unión de conjuntos completos debe ser completa?