En su obra de 1905 papel Einstein deduce la transformación de Lorentz utilizando los dos postulados de la RS: la constancia de $c$ para todos los marcos inerciales y la Invariancia de las leyes de la física para todos los marcos inerciales.
Resumiré su derivación matemática y luego formularé una pregunta concreta al respecto.
Por lo tanto, consideramos dos marcos $(x,y,z,t)$ y $(\xi,, ,\tau)$ en movimiento relativo a lo largo del eje x con velocidad $v$ y nos interesa encontrar una transformación espaciotemporal que relacione sus coordenadas.
Consideramos un punto arbitrario $x'=x-vt$ . Este punto está en reposo en $(\xi,, ,\tau)$ ya que se mueve con $v$ Por lo tanto, este punto tiene $x',y,z$ coordenadas que es independiente del tiempo, es decir, la distancia entre ese punto y el origen de $(\xi,, ,\tau)$ es constante.
Consideramos el siguiente escenario: golpear un rayo de luz desde el origen de $(\xi,, ,\tau)$ en $\tau_0$ llegando al punto $x'$ en $\tau_1$ para luego ser reflejado y llegar al origen de $(\xi,, ,\tau)$ en $\tau_2$ .
Así que tenemos: $1/2(\tau_0+\tau_2)=\tau_1$ . Desde $\tau$ es una función de $(x,y,z,t)$ que tenemos:
$\dfrac{1}{2}[\tau(0,0,0,t)+\tau(0,0,0,t+\dfrac{x'}{c-v}+\dfrac{x'}{c+v})]=\tau(x',0,0,t+\dfrac{x'}{c-v})$
Suponiendo que $x'$ es infinitamente pequeña, entonces expandiendo por Taylor esta ecuación y aproximándola a primer orden obtenemos:
$\dfrac{\partial \tau}{\partial x'}+\dfrac{v}{c^2-v^2}\dfrac{\partial\tau}{\partial t}=0$
Resolviéndolo entonces tenemos:
$\tau=a(t-\dfrac{v}{c^2-v^2}x')$
donde $a$ es una función desconocida de $v$ (de hecho $a=1$ ).
Por último, consideremos un haz de luz emitido desde $(\xi,, ,\tau)$ en el origen, es $\xi$ viene dada por $\xi=c\tau=ca(t-\dfrac{v}{c^2-v^2}x')$
Está dada por $\dfrac{x'}{c-v}=t$ en $(x,y,z,t)$ , conectando para $t$ nos encontramos con que:
$\xi=a\dfrac{c^2}{c^2-v^2}x'$
Luego afirma:
Sustituyendo por $x'$ su valor, obtenemos $\xi=a\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(x-vt)$ ...
Mi pregunta es:
1) las tres ecuaciones $\tau=a(t-\dfrac{v}{c^2-v^2}x')$ y $\xi=c\tau$ y $x'=x-vt$ cuando se combinan dan como resultado :
$\xi=c\tau=ca(t-\dfrac{v}{c^2-v^2}x')=a\dfrac{c^2}{c^2-v^2}x'$ ya que $x'=x-vt$ al enchufar obtenemos:
$\xi=a\dfrac{c^2}{c^2-v^2}(x-vt)=a\dfrac{1}{1-v^2/c^2}(x-vt)$ no $a\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(x-vt)$ .
Pero Él dice
Sustituyendo por $x'$ su valor, obtenemos $\xi=a\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}(x-vt)$ ...
Todas estas ecuaciones están copiadas del documento original de Einstein, Entonces, ¿qué hay de malo en mis cálculos que no los hace coincidir con los de Einstein?
