Cuando el uso de la regla de L'Hospital de vs el límite de acceso directo

Question

Antes de ser tan rápido para downvote o lanzar dardos, por favor, perdona mi ignorancia y la incapacidad para recordar básicos de cálculo de la atm.

Considerar el límite de $\lim \limits_{x \to \infty}\frac{3x^2+14x-5}{x^2+x-12}$. Rápidamente se puede determinar que el $x$ enfoques $3$ el uso de L'Hospital de la regla.

La misma respuesta puede ser derivado, sin embargo, mediante el uso de este acceso directo (desconozco si tiene un nombre específico):

$\lim \limits_{x \to \infty}\frac{3x^2+14x-5}{x^2+x-12}=\lim \limits_{x \to \infty}\frac{3x^2/x^2+14x/x^2-5/x^2}{x^2/x^2+x/x^2-12/x^2}$

Cada término se divide por el mayor grado de $x$ en el denominador. Los términos con $x^2$, tanto en el numerador y el denominador de simplificar. Todos los demás términos ir a $0$. Por lo tanto:

$\lim \limits_{x \to \infty}\frac{3x^2/x^2+14x/x^2-5/x^2}{x^2/x^2+x/x^2-12/x^2}=\frac{3}{1}=3$

1) ¿cuáles son las condiciones explícitas en las que se puede utilizar este acceso directo?

2) ¿Cómo puedo saber cuándo utilizar a lo largo de L'Hospital de la regla, ya que ambas técnicas pueden ser utilizadas sólo cuando se trabaja con los cocientes?

3) ¿Cuál es el nombre de los accesos directos, si alguna?

Answer 1

No hay una "regla" acerca de esto. Hacer como que creas conveniente.

Por otro lado, no es difícil probar que una general teorema sobre funciones racionales. Supongamos que usted tiene $$ f(x)=\frac{a_mx^m+a_{m-1}x^{m-1}+\dots+a_0}{b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\dots+b_0} $$ con $a_m\ne0$$b_n\ne0$. Entonces, ya que no es restrictivo suponer $x>0$ cuando queremos calcular el límite de $x\to\infty$, el numerador puede ser escrito como $$ x^m\left(a_m+\frac{a_{m-1}}{x}+\dots+\frac{a_0}{x^m}\right) $$ y el factor entre paréntesis tiene límite de $a_m$ al $x\to\infty$. De manera similar para el denominador. Ahora $$ \lim_{x\to\infty} \frac{\displaystyle a_m+\frac{a_{m-1}}{x}+\dots+\frac{a_0}{x^m}} {\displaystyle b_n+\frac{b_{n-1}}{x}+\dots+\frac{b_0}{x^m}} =\frac{a_m}{b_n}\ne0 $$ Por lo tanto, hay tres casos.

Primer caso: $m>n$

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{x\to\infty}x^{m n} \frac{\displaystyle a_m+\frac{a_{m-1}}{x}+\dots+\frac{a_0}{x^m}} {\displaystyle b_n+\frac{b_{n-1}}{x}+\dots+\frac{b_0}{x^m}} = \begin{cases} \infty & \text{if %#%#%} \\[4px] -\infty & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ El factor de $a_m/b_n>0$ limit $a_m/b_n<0$ y el otro factor es acotada.

Segundo caso: $x^{m-n}$

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{x\to\infty} \frac{\displaystyle a_m+\frac{a_{m-1}}{x}+\dots+\frac{a_0}{x^m}} {\displaystyle b_n+\frac{b_{n-1}}{x}+\dots+\frac{b_0}{x^m}} =\frac{a_m}{b_n} $$

Tercer caso: $\infty$

$$ \lim_{x\to\infty}f(x)= \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{n-m}} \frac{\displaystyle a_m+\frac{a_{m-1}}{x}+\dots+\frac{a_0}{x^m}} {\displaystyle b_n+\frac{b_{n-1}}{x}+\dots+\frac{b_0}{x^m}} =0 $$ El factor de $m=n$ limit $m<n$ y el otro factor tiene límite de $1/x^{n-m}$.

Esta completamente resuelve el problema y no necesitan nada más: su límite es $0$ debido a que la función es en el caso de dos. Haciendo muchísimas veces la misma cálculos no parece la mejor forma de pasar nuestro tiempo.

¿Cómo puede usted recordar esto? El polinomio de mayor grado domina: si está en el numerador, el límite es de $a_m/b_n$ (con el signo determinado por $3$); si está en el denominador, el límite es de $\pm\infty$. Si los grados son el mismo, el límite es de $a_m/b_n$.

Answer 2

Atajo puede ser utilizado en el cociente de los límites en cualquier momento, existen algunos de los que llevan a término en el numerador y el denominador que se convierte en dominante en el límite con respecto a los demás términos, indicando con g(x) el término dominante

$$\lim \limits_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$

Para individualizar la dominante término, recordemos que

• $\frac{x^a}{x^b} \to 0$ $b>a$

• $\frac{x^a}{b^x} \to 0$ $b>1$

• $\frac{\log x}{x^a} \to 0$ $a>0$

y para las secuencias

• $\frac{a^n}{n!} \to 0$ $a>1$

• $\frac{n!}{n^n} \to 0$

Recordemos que la regla de l'Hospital puede ser aplicado a los límites que se expresan (o puede ser expresado) por el cociente que se encuentran en la forma indeterminada $\frac 0 0$ o $\frac{\pm \infty}{\pm \infty} $.

Creo que no hay un nombre específico para el atajo.

Como se indica en el comentario de otro modo para la expresión racional puede ser el siguiente

$$\frac{3x^2+14x-5}{x^2+x-12}=\frac{3x^2+3x-12+11x+7}{x^2+x-12}=3+\frac{11x+7}{x^2+x-12}$$

Answer 3

En general, supongamos que tiene una expresión de la forma

$$f_1(x)+f_2(x)\over g_1(x)+g_2(x)$$

para que

$$\lim_{x\to c}{f_2(x)\over f_1(x)}=\lim_{x\to c}{g_2(x)\over g_1(x)}=0$$

$$\lim_{x\to c}{f_1(x)+f_2(x)\over g_1(x)+g_2(x)}=\lim_{x\to c}{f_1(x)\over g_1(x)}$$

La prueba de cantidades para la inserción de la expresión intermedia

$$\lim_{x\to c}{f_1(x)\over g_1(x)}\cdot{1+{f_2(x)\over f_1(x)}\over1+{g_2(x)\over g_1(x)}}$$

Un buen ejemplo, en el que L'Hôpital consigue en ninguna parte, es

$$\lim_{x\to\infty}{5e^{3x}+2e^x\over2e^{3x}+7e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}{5e^{3x}\over2e^{3x}}=\lim_{x\to\infty}{5\over2}={5\over2}$$

El truco, en general, es reconocer un dominante término en el numerador y/o denominador. En esencia, el acceso directo dice que usted puede ignorar todas las otras cosas. Pero usted tiene que asegurarse de que usted elija los términos que realmente dominan las otras cosas; a veces puede globo ocular, y a veces se cometen errores (al menos yo lo hago).