"Correcto antiderivada" para la integral $\int 2e^{\tan^{-1}x+x^2+\ln x}\left(2+\frac{2x^3+2x+1}{x+1/x}\right) dx$

Question

Evaluar $$I=\int 2e^{\tan^{-1}x+x^2+\ln x}\left(2+\dfrac{2x^3+2x+1}{x+1/x}\right) dx$$

Este fue un MCQ pregunta, y el solucionador tiene la respuesta como $$I=xe^{\tan^{-1}x+x^2+\ln x}+C$$

Sin embargo, el (aparentemente) respuesta correcta es $$I=x^2e^{\tan^{-1}x+x^2}+C$$ $$$$The primary discussion was on whether the two functions are equivalent or not, and if not, then which function is the correct antiderivative. At first sight, these two alternatives might appear to be the same, but they are not: $xe^{\bronceado^{-1}x+x^2+\ln x}+C$ is not defined at $x=0$; $x^2e^{\bronceado^{-1}x+x^2}+C$ is. I also noticed that the integrand is defined for $x>0$ (and not at $x=0$).

Sospecho que en algún lugar el Teorema Fundamental del Cálculo es para ser utilizado, sin embargo, soy incapaz de usarla correctamente. Podría alguien por favor explique cuál de las alternativas es la correcta (y lo que es más importante ¿por qué esa alternativa en particular es correcta)?

Answer 1

Tenga en cuenta que el dominio de la función $ 2e^{\tan^{-1}x+x^2+\ln x}\left(2+\dfrac{2x^3+2x+1}{x+1/x}\right)$ ser integrado es $(0, \infty)$.

Por lo tanto, la antiderivada consigue $F(x)$ se entiende definido/restringidos en algún intervalo dentro de $(0, \infty)$.

Esto hace que tanto las respuestas correctas, pero si quieres ser precisos usted debe hacer hincapié en que sus dominios se $(0, \infty)$.