máximo de monic polinomio en el círculo unitario es de 1 implica $p(z)=z^n$

Question

Deje $p(z)$ ser un monic polinomio de grado $n$.

Demostrar que $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|\geq 1$ y que equlity tiene si y sólo si $p(z)=z^n$.

Me observó por primera vez que el $p^{(n)}(z)=n!$. Por lo tanto, por la fórmula de Cauchy

$$n!=p^{(n)}(0)=\frac{n!}{2\pi i}\int\limits_{|z|=1}\frac{p(z)}{(z-0)^{n+1}}dz\implies 1\leq\frac{1}{2\pi}\int\limits_{|z|=1}|p(z)|dz\leq\max\limits_{|z|=1}|p(z)|$$

Ahora, está claro que si $p(z)=z^n$$\max\limits_{|z|=1}|p(z)|= 1$, pero ¿y a la inversa?

Answer 1

Deje $p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0$.

A continuación, $\forall z\neq 0:p(\frac{1}{z})=z^{-n}+a_{n-1}z^{-n+1}+\cdots+a_0$.

Deje $q(z)=z^n\cdot p(\frac{1}{z})=1+a_{n-1}z+\cdots+a_0z^n$.

Observar que $$\max\limits_{|z|=1}|q(z)|=\max\limits_{|z|=1}|z^n\cdot p(1/z)|=\max\limits_{|z|=1}|p(1/z)|=\max\limits_{|z|=1}|p(z)|$$

El último paso es debido a $\{z\in\mathbb{C}:|1/z|=1\}=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$.

Ahora, $q(0)=1$, lo $|q(0)|=1$ y, por el principio del máximo, $\max\limits_{|z|=1}|q(z)|\geq1$.

Finalmente, $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|\geq1$.

Ahora, si $p(z)=z^n$, claramente $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|=1$.

Supongamos que $\max\limits_{|z|=1}|p(z)|=1$,$\max\limits_{|z|=1}|q(z)|=1$.

De nuevo, por el principio del máximo, tenemos que $q\equiv 1$.

Por lo tanto, $\forall z\neq 0:p(1/z)=1/z^n$, lo $\forall z\neq 0:p(z)=z^n$.

Finalmente, a partir de la continuidad de $p(0)=0$ y conseguir que la $\forall z\in\mathbb{C}:p(z)=z^n$.

Answer 2

Se ha demostrado que el valor de la media de $|p(z)|$ sobre el círculo unitario es de al menos $1$, así que para mostrar que el máximo es mayor que $1$, usted tiene que hacer es mostrar que $|p(z)|$ no es constante.

Supongamos que por el bien de la contradicción que $|p(z)|$ es constante en el círculo unidad. A continuación,$iz p'(z)$, la derivada direccional de $p(z)$ en una dirección tangente al círculo unidad en $z$, debe ser un imaginario múltiple de $p(z)$ en todas partes en el círculo unitario; es decir, el (necesariamente meromorphic!) la función $q(z) = \frac{p(z)}{z p'(z)}$ debe ser real dondequiera $|z| = 1$. Por un corolario de la máxima módulo principio, $q(z)$ es igual en todas partes con algunas constantes $c$, y podemos escribir $p(z) = cz p'(z)$. Mediante la comparación de los principales coeficientes de $p(z)$ $zp'(z)$ tenemos que $c$ igual $1/n$, pero en ese caso, ninguno de los distinto de cero trailing coeficientes de $p(z)$ $czp'(z)$ coinciden, por lo $p(z) = \frac{1}{n} z p'(z)$ sólo se puede mantener si $p(z) = z^n$.

Answer 3

Considere la posibilidad de $p(x)=xq(x)+k$ donde $q$ es un grado $n-1$ polinomio. Entonces

$$|p(x)|^2 = |x g(x)|^2 + 2 \Re(xg\bar{k}) + |k|^2 = |x g(x)|^2 + 2 |xg(x)| |k| \cos \arg(xg(x) \bar{k}) + |k|^2.$$

Si podemos demostrar que $x g(x) \bar{k}$ tiene un argumento en $[-\pi/2,\pi/2]$, entonces podemos escribir $$1 = |p(x)|^2 \geq 1 + 0 + |k|^2$$ como $|xg(x)|^2 \geq 1$, y esto es una contradicción si $k \neq 0$.

Sólo voy a esbozar el resto de un posible argumento. No estoy seguro de si esto funciona. En primer lugar, me gustaría hacer una inducción argumento de que por cualquier $g(x)$ monic el rango de $\arg(g(x))$ es un intervalo mayor que $\pi$, y desde $\arg x$ es el aumento en $|x|=1$ de las agujas del reloj, $\arg(g(x)xk) = \arg(g(x)) + \arg(x) + \arg(k)$ también debe tener un rango de longitud mayor que $\pi$. Lo que significa que hay un valor alcanzado en el intervalo de $[-\pi/2, \pi/2]$.