Triebel-Lizorkin espacio $F_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$, $p=\infty$

Question

Una manera de definir la Triebel-Lizorkin espacio es el uso de diádica de la resolución de la unidad. Deje $\psi$ ser un Schwartz función que satisface $\hat{\psi}(\xi)=1$ al $|\xi|\leq 1$ $\hat{\psi}(\xi)=0$ al $|\xi|>\frac{3}{2}$. Definir $\psi_0:=\psi$ $\psi_j,j\in\mathbb{N}$ a través de $$\widehat{\psi_j}(\xi)=\hat{\psi}(2^{-j}\xi)-\hat{\psi}(2^{-j+1}\xi).$$ Entonces podemos ver que $\widehat{\psi_j}$ se apoya en el conjunto de $$\{\xi\in\mathbb{R}^d: 2^{j-1}\leq|\xi|\leq 2^{j+1}\}.$$ Además: $$\sum_{j=0}^\infty\widehat{\psi_j}(\xi)=1,\quad\forall \xi\in\mathbb{R}^d.$$ En este caso llamamos a $\psi$ de generación de función, y $(\psi_j)_{j=0}^\infty$ un diádica de la resolución de la unidad. Tenga en cuenta que en este caso, cada templado distribución $f$ tiene la siguiente representación $$f=\sum_{j=0}^\infty\psi_j*f,$$ con la serie de la convergencia en el espacio de templado de distribuciones.

Para $s\in\mathbb{R}$, $0<p<\infty$ y $0<q\leq\infty$, el Triebel-Lizorkin espacio de $F_{p,q}^s(\mathbb{R}^d)$ se definen como los espacios de todos templado distribución $f$ tal que $$\|f\|_{F_{p,q}^s}:=\left\|\left(\sum_{j=0}^\infty 2^{jsq}|\psi_j*f|^q\right)^{\frac{1}{q}}\right\|_{L^p}<\infty$$ para $0<q<\infty$, y $$\|f\|_{F_{p,\infty}^s}:=\left\|\sup_{j\in\mathbb{N}_0}2^{js}|\psi_j*f|\right\|_{L^p}<\infty.$$ Mediante el uso de argumentos técnicos se puede probar que dufferent diádica resoluciones de la unidad le dará el equivalente de las normas sobre la Triebel-Lizorking espacio.

Lo que me resulta curioso es que, ¿qué pasa si $p=\infty$? He leído varios libros de texto , por ejemplo, "los Modernos análisis de Fourier", por Loukas Grafakos, "Teoría de la Función de los Espacios" de Hans Triebel, en el que $p=\infty$ se dice que es un caso en el que la definición anterior no funciona. Sin embargo los autores de esos libros que no dará más detalles sobre este tema. Más específicamente, mi pregunta es, ¿por qué la definición anterior falla al $p=\infty$? ¿Alguien puede proporcionarme algunos recursos (enlaces) que explica este problema en los detalles? O me dan algunas claves si es posible?

Gracias de antemano.

Answer 1

Vamos a discutir en lugar de la homogeneidad de Triebel-Lizorkin espacios de $\dot{F}_{p,q}^s$. En el estudio de estos espacios, es conveniente que en varios casos en los que la representación de $f = \sum_{j\in 2^\mathbb{Z}} \psi_j*f$ (definición de la $\psi_j$ negativos $j$ por las mismas definiciones) para mantener no sólo en la clase de templado de distribuciones, pero en $L^p$ (en el sentido de convergencia de la serie a $f$ $L^p$ norma), y esto no funciona exactamente para $p=1$ y $p=\infty$. ($p=1$ puede ser recuperada bajo la suposición adicional de que $\int f = 0$.) Este fracaso para $p=\infty$ es fácil de ver: la creación de $\phi_{M,N} = \sum_{j=M}^N \psi_j$,$M,N\in 2^{\mathbb{Z}}$, se requeriría $$ f*\phi_{M,N}(x) = \int f(x-y)\phi_{M,N}(y)~dy \a f(x) $$ como $M\to-\infty$, $N\to\infty$ de manera uniforme en una.e. x. Pero claramente esto no puede sostener por $f(x) \equiv 1$ $\phi_{M,N}$ es decir $0$ todos los $M$$N$.

Esto podría ser demasiado filosófico, pero que yo considero este el problema fundamental detrás de $p=\infty$ para Triebel-Lizorkin espacios. Mientras esto no significa necesariamente que el dado definiciones para $F_{p,q}^s$ no puede tener sentido para $p=\infty$, al menos debería indicar que no puede satisfacer las propiedades que desee. Por ejemplo, tomando $q=2$ $s=0$ en la definición debería darnos $L^p$ normas a través de la Littlewood-Paley cuadrados teorema de la función. Pero la plaza-teorema de la función falla por $p=1$ $p=\infty$ debido a las razones indicadas anteriormente.