¿Es normal?

Question

Deje $a = \sqrt{\sqrt2 + \sqrt3}$ $\mathbb{Q}(a)$ una extensión normal de $\mathbb{Q}$?

Pensé que la respuesta era no, porque el polinomio mínimo de a $a$ $x^8 -10x^4 + 1$ $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}] = 8$ y leí una pregunta similar aquí donde dicen que es una extensión normal si el fin de que el grupo de Galois es de 4, pero no significa esto el fin de que el grupo de Galois es 8? También, no una extensión por $a$ no incluir nada de lo imaginario y, por tanto, sólo la mitad de las otras raíces. Casi me atrevería a concluir definitivamente que esta extensión no es normal, pero la parte b de la pregunta es para describir el grupo de Galois $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(a)/\mathbb{Q})$ hasta el isomorfismo, que quiere decir que la extensión que tendría que ser normal

Answer 1

La normal de cierre de $\Bbb Q(\sqrt{\sqrt2+\sqrt3})$ contiene un cuadrado raíz de $\alpha$$\sqrt2-\sqrt3$. Como $\alpha^2<0$, $\alpha\notin\Bbb R$. Como $\Bbb Q(\sqrt{\sqrt2+\sqrt3})\subseteq\Bbb R$, $\Bbb Q(\sqrt{\sqrt2+\sqrt3})$ no es una extensión normal de $\Bbb Q$.