Paul Erdős problema: Si un triángulo tiene circunradio $R$ más grande y exradius $r_a$, $2r_a\geq 3R$

Question

Deje $r_a$ ser el radio de la mayor escribed de giro de un triángulo, y deje $R$ el valor del radio del círculo circunscrito. Demostrar que $2r_a \geq 3R$.

Cómo demostrarlo? No estoy interesado en las desigualdades, pero creo (ya que es de Paul Erdős) es un hermoso problema. Por favor, ayuda! Gracias!

Answer 1

Deje que el circunradio del triángulo $R$, $a=2R\sin(A)$ (esto puede ser comprobada mediante el Teorema del Ángulo Inscrito) y también tenemos que el área del triángulo es $\Delta=\frac12bc\sin(A)$. Por lo tanto, $$abc=2R\sin(Un)ac=4R\Delta\tag1$$ Por lo tanto, utilizando la Ley de los Cosenos para obtener $\cos(A)=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, tenemos $$\begin{align} \tan(A/2) &=\frac{\sin(A)}{1+\cos(A)}\\[6pt] &=\frac{\frac{a}{2R}}{1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}\\ &=\frac{\frac{abc}{R}}{(b+c)^2-a^2}\\[9pt] &=\frac\Delta{s(s-a)}\tag2 \end{align}$$ donde $s=\frac{a+b+c}2$.

Suponga que $a\ge b\ge c$ y deje $r_a$ ser el exradius en el lado de longitud $a$.

En el diagrama de abajo, $\angle CBD=\pi-B$; por lo tanto, $\angle CBO=\frac\pi2-\frac B2$, y por lo tanto, $\angle FOB=\frac B2$. Del mismo modo, $\angle FOC=\frac C2$.

Tenga en cuenta que $$a=r_a\tan(B/2)+r_a\tan(C/2)\tag3$$ y por lo tanto, la aplicación de los análogos de $(2)$$B$$C$, $$\begin{align} r_a &=\frac{a}{\tan(B/2)+\tan(C/2)}\\[6pt] &=\frac{a}{\frac\Delta{s(s-b)}+\frac\Delta{s(s-c)}}\\[6pt] &=\frac{s(s-b)(s-c)}\Delta\tag4 \end{align}$$ De $(1)$, tenemos $$R=\frac{abc}{4\Delta}\tag5$$ Dividiendo $(5)$ $(4)$ rendimientos $$\begin{align} \frac{R}{r_a} &=\frac{abc}{4s(s-b)(s-c)}\\[6pt] &=\frac{bc}{4s(s-c)}+\frac{bc}{4s(s-b)}\tag6 \end{align}$$ Para un determinado $s$, cada uno de los sumandos en $(6)$ de incremento en el $b$$c$. Desde $a\ge b\ge c$, tenemos el máximo al $a=b=c=\frac23s$, que es $$\frac{R}{r_a}\le\frac23\tag7$$

Answer 2

Sugerencia: sustituya $$r_a=\frac{A}{s-a}$$ and $$A=\frac{abc}{4R}$$ and $$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$