Puntos extremos de un subconjunto de las funciones de densidad de

Question

Consideremos el conjunto de bienes de las funciones de densidad fija con media y varianza:

$$S(\mu, \sigma^2)=\{f: \Bbb R\to \Bbb R: f\geq 0, f \textrm{ continuous, }\\ \int_{\Bbb R}f(x)=1, \int_{\Bbb R}xf(x)=\mu,\; \int_{\Bbb R}(x-\mu)^2f(x)=\sigma^2\}.$$

Tengo curiosidad acerca de las siguientes preguntas:

¿Cuál es el conjunto de puntos extremos de S? Es la distribución normal, con su correspondiente media y la varianza de un punto extremo?

Cualquier puntero a la literatura para esto o problemas similares también es apreciado.

Answer 1

$S(\mu,\sigma^2)$ no tiene puntos extremos. Que siempre se puede escribir $f$ como promedio de las dos variantes, la que podemos obtener por la realización de ajustes en algunos puntos.

Para ver esto, encontrar tres triángulos adyacentes debajo de la gráfica de $f$, por ejemplo:

Más formalmente, por la continuidad de $f$, elija $b,u,v$ tal que $f(x)>v>0$$x$$[b-3u,b+3u]$. Vamos \begin{align} f_1 &= v \max(0, 1-|x-b+2u|/u)\\ f_2 &= v \max(0, 1-|x-b+0u|/u)\\ f_3 &= v \max(0, 1-|x-b-2u|/u)\\ f_4 &= f-f_1-f_2-f_3\\ \end{align}

La imagen de arriba muestra $f_1,f_2,f_3$ bajo normal estándar $f$, con $b=0,$ $u=1/2,$ $v=1/8.$

Ahora buscamos funciones en $S(\mu,\sigma^2)$ de la forma $\sum w_i f_i$, por lo que el $w_i$ satisfacer $$\sum w_i\! \int\! f_i = 1,\ \ \sum w_i\! \int\! f_i x = \mu,\ \ \sum w_i\! \int\! f_i x^2 = \mu^2+\sigma^2.$$

Cuando nos integrar y poner el $w_4$'s en el lado derecho, esto nos da: $$ \begin{pmatrix} uv &uv(b-2u) &uv(b^2 - 4bu + \frac{25}{6} u^2)\\ uv &uv(b+0u) &uv(b^2 + 0bu + \frac{1}{6} u^2) \\ uv &uv(b+2u) &uv(b^2 + 4bu + \frac{25}{6} u^2)\\ \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - (1-3uv)w_4 \\ \mu - (\mu-3buv)w_4\\ \mu^2 + \sigma^2 - kw_4 \\ \end{pmatrix} $$ donde $k=\mu^2+\sigma^2-uv(3b^2+\frac{51}{6}u^2).$

La matriz tiene determinante $16u^6v^3$, lo cual es distinto de cero, por lo que cualquier valor de $w_4$ los rendimientos de una solución única para $w_1,w_2,w_3$. Al $w_4=1$, la solución es $w_1=w_2=w_3=1.$

Ahora elija $\epsilon$ tal que $w_4=1\pm\epsilon$ el rendimiento positivo de los valores de $w_1, w_2, w_3$. Deje $g$ ser el valor de $\sum w_i f_i$ correspondiente a $w_4 = 1+\epsilon$, y deje $h$ ser el valor correspondiente a $w_4 = 1-\epsilon$. A continuación, $f$ es una mezcla de $g$$h$.

En el ejemplo anterior, la elección de $\epsilon=1/4$ da $f,g,h$ como el azul, el verde y el naranja de la gráfica de abajo, y todos están en $S(0,1)$.