Espacios vectoriales: Comprendiendo los conceptos básicos

Question

Estoy estudiando para el examen de la materia de Matemáticas del GRE y actualmente estoy repasando Álgebra Lineal. Estoy leyendo cuidadosamente mi libro de curso "Linear Algebra Done Right" de Sheldon Axler (Tercera Edición). Tengo algunas preguntas con respecto a los conceptos fundamentales:

Al revisar la definición de un Espacio Vectorial, no me parece obvio por qué necesitamos que los escalares, adyacentes al conjunto de vectores, sean miembros de un Campo. Si aflojamos un poco esta definición de un Espacio Vectorial, creo que podemos obtener estructuras algebraicas que son análogas a las de un Espacio Vectorial y, por lo tanto, significativas. De ahí mi primera pregunta: ¿Es la Recta de Números Reales un Espacio Vectorial?.

Si es así, entonces esto implicaría que los números mismos pueden ser interpretados como vectores. Luego, al intentar considerar "espacios" vectoriales (aparte del caso trivial del conjunto de un solo vector cero $\{0\}$) me pregunto, en este sentido, mi segunda pregunta: ¿Pueden haber Espacios Vectoriales contenidos dentro de la Recta de Números Reales?

Es aquí donde aflojar la definición de un espacio vectorial puede tener mérito. Si permitimos que nuestros escalares sean enteros y nuestro conjunto de vectores sean todos los múltiplos (positivos y negativos) de un número natural, entonces ese conjunto de vectores adyacente con la operación de suma de vectores y multiplicación por un escalar manifestaría todas las características que definen un Espacio Vectorial. Intente usar el conjunto que contiene todos los múltiplos de tres - $\{x | x = 3\alpha \text{ where } \alpha \in \mathbb{Z}\}$.

Entonces, ¿por qué una estructura así no sería un espacio vectorial? ¿Le falta algo? ¿O por qué exigimos que usemos escalares de un campo? Estoy interesado en saber qué piensas.

Answer 1

Esta es una pregunta bastante amplia, por lo que no soy optimista de que se mantenga abierta por mucho tiempo. ¡Dicho esto, es una gran observación!

Primero, responderé algo que mencionaste implícitamente antes de tu primera pregunta:

---

¿Qué pasa si no requerimos escalares para formar un campo?

Si en cambio solo les pedimos que formen un anillo conmutativo (es decir, podemos hacer todo lo que estás acostumbrado en un campo excepto la división) entonces la estructura que obtenemos ya no es un espacio vectorial, sino una estructura ligeramente diferente llamada un módulo.

Hay muchas cosas interesantes que se pueden decir sobre los módulos, pero el punto principal es que sin la división, no es posible escalar hacia abajo en general.

Esto tiene algunas diferencias sorprendentes respecto a un espacio vectorial. Por ejemplo, en un espacio vectorial si tienes un conjunto de generadores que no es independiente, puedes desechar vectores inútiles y formar una base. Esto no siempre es posible en un módulo, y la noción de 'dimensión' está menos claramente definida para un módulo.

Por ejemplo, considera el módulo $\mathbb{Z}$ con el anillo base $\mathbb{Z}$. El conjunto $\{2,3\}$ es linealmente dependiente (de la manera en que estás acostumbrado) y genera $\mathbb{Z}$ ya que son coprimos, pero ni $\{2\}$ ni $\{3\}$ generan $\mathbb{Z}$.

En particular, al tratar con espacios vectoriales es probable que uses el hecho de que si un conjunto finito es linealmente dependiente, entonces puedes escribir uno de los vectores en términos de los otros. ¿Cómo? Bueno, supongamos que $$\sum_{i=1}^n \lambda_i v_i = \lambda_1 v_1 + \dotsb +\lambda_n v_n = 0$$ para $\lambda_i \in \mathbb{F}$ y $v_i \in V$. Dado que los vectores son linealmente dependientes, uno de los $\lambda_j \neq 0$. Entonces simplemente podemos reorganizar para obtener

$$\lambda_j v_j = -\sum_{i=1\\i\neq j}^n \lambda_i v_i \implies v_j = -\sum_{i=1\\i\neq j}^n \frac{\lambda_i}{\lambda_j} v_i$$ al dividir por $\lambda_j$. Pero en un módulo, no podemos dividir por escalares. Por lo tanto, tal expresión no siempre es posible, creando cosas que pueden ser sorprendentes cuando estás acostumbrado a espacios vectoriales.

---

¿Es la recta de números reales un espacio vectorial?

¡Sí! De hecho, de varias maneras. Primero, es un espacio vectorial sobre sí mismo: toma el campo base como los números reales, y obtienes los reales como un subespacio unidimensional.

Otra forma de hacer de los reales un espacio vectorial es definir el campo base como los números racionales. Entonces, los números reales forman un espacio vectorial sobre los racionales, y no es difícil ver que es de dimensión infinita. Sin embargo, lo difícil es escribir una base, lo cual requiere el Axioma de Elección.

---

¿Pueden existir Espacios Vectoriales contenidos dentro de la Recta de Números Reales?

¡Sí! Ir en esta dirección te lleva a la teoría de Galois. Por ejemplo, tomando $\mathbb{Q}$ nuevamente como el campo base, el espacio vectorial con base $1,\sqrt{2}$ es un espacio vectorial de ($2$ dimensiones) puramente contenido en los reales (lo llamamos $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$). Tiene elementos de la forma $a + b \sqrt{2}$, donde $a,b$ son números racionales. Alternativamente, puedes poner $\sqrt[3]{2}$ en tu espacio vectorial en su lugar, y dar el espacio vectorial (de $3$ dimensiones) con base $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}^2$, también contenido en los reales.

Puedes crear espacios vectoriales aún más grandes considerando los números algebraicos, que tienen dimensión infinita respecto a $\mathbb{Q}$.

También puedes hacer el campo base más grande, por ejemplo podrías usar un campo base $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, y considerar los números de la forma $a + b \sqrt{3}$, donde $a,b \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, que tiene dimensión 2 respecto a $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ (y dimensión 4 respecto a $\mathbb{Q}$).

Finalmente, como mencioné anteriormente, puedes tomar $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$, que tiene dimensión incontable.

Answer 2

¿Podemos relajar la definición? Los espacios vectoriales son, por definición, sobre un campo. Eso es todo. Si relajas la definición para que los escalares sean de un anillo, obtienes, por definición, un objeto llamado un módulo. Hay muchos buenos lugares para leer sobre módulos. Aprendí sobre módulos de Atiyah & Macdonald Introducción al Álgebra Conmutativa, pero la mayoría de los libros de álgebra los cubren.

(transición a '¿por qué hay dos definiciones separadas?') Los espacios vectoriales son un caso especial de módulos ya que todo campo es también un anillo. Sin embargo, algunas de las propiedades intuitivas agradables de los espacios vectoriales no se aplican a un módulo general. Por ejemplo, un submódulo de un módulo finitamente generado no necesariamente es finitamente generado, lo cual es completamente contrario al hecho de que un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita siempre es de dimensión finita. Además, cada espacio vectorial tiene una base (incluso los de dimensión infinita). No todos los módulos tienen una base. Dado que los módulos y los espacios vectoriales difieren exactamente por una propiedad, la capacidad de 'dividir' por escalares, cada vez que algo es cierto para los espacios vectoriales pero no para los módulos, significa que en alguna parte de la prueba del teorema para los espacios vectoriales, o en la prueba de un teorema que invoca, se invoca esa propiedad de ser un campo. En particular, en algún lugar de la prueba de que cada espacio vectorial tiene una base, se invoca esa propiedad, de lo contrario el teorema también sería cierto para los módulos. Acabo de leer la prueba en Wikipedia para ver si podía encontrarlo, se invoca implícitamente sin mencionar en algún lugar aquí. Mira si puedes encontrarlo. De todos modos, este es un gran punto de inflexión para la teoría de los módulos y la teoría de los espacios vectoriales, porque ahora cualquier teorema para un espacio vectorial general $V$ cuya prueba invoque la existencia de una base está confiando en la prueba de que tal base existe, lo cual depende de los escalares provenientes de un campo. La existencia de una base es fundamental para la teoría de espacios vectoriales.

¿Por qué hay dos nociones separadas, un espacio vectorial y un módulo? Como se mencionó anteriormente, si estudias las relaciones de dependencia de los teoremas de espacios vectoriales, verás que muchos de los teoremas invocan el hecho de que los escalares provienen de un campo. Cada vez que necesitas dividir (es decir, multiplicar por el inverso multiplicativo) de un escalar, el teorema oficialmente se convierte en un teorema de espacios vectoriales, no de módulos. A medida que avanzan las cosas, las propiedades y la teoría de módulos y espacios vectoriales comienzan a ser muy diferentes, aunque son objetos similares por definición. Esto hace que valga la pena tener dos definiciones separadas y dos objetos diferentes para estudiar, aunque a veces haya algún interjuego. La teoría de módulos a menudo aprovecha al máximo cada vez que un módulo se convierte en un espacio vectorial después de que se realiza alguna operación, por lo que cualquier teorema de espacios vectoriales entonces se cumple. Varias ramas de las matemáticas en realidad tienen un tema común de intentar reducir problemas a álgebra lineal convirtiendo algún objeto de interés en un espacio vectorial. Esto sucede en geometría algebraica (estudiando divisores en curvas), teoría de campos y teoría de representación, por nombrar algunas.

Además, relajar definiciones no es único para espacios vectoriales y módulos. La mayoría de los objetos algebraicos tienen una versión 'relajada'. Por ejemplo, es posible que estés familiarizado con los grupos. Existe un objeto llamado un monoide que es simplemente un grupo sin el axioma que requiere inversos. Es decir, un monoide es un conjunto con una operación asociativa binaria y un elemento identidad. Por lo tanto, cada grupo es automáticamente un monoide, pero no cada monoide es un grupo.

¿Es la recta real un espacio vectorial? Absolutamente. De hecho, para cualquier campo $K$, $K$ forma un espacio vectorial sobre sí mismo. Por lo tanto, en particular, $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial real, es decir, un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Esta es solo una de las formas en que $\mathbb{R}$ se puede ver como un espacio vectorial, pero es muy posible ver a $\mathbb{R}$ como un espacio vectorial con operaciones distintas a la suma y multiplicación habituales, o como un espacio vectorial sobre otros campos.

¿Pueden haber espacios vectoriales contenidos en la recta real? Bueno, si estamos hablando de la recta real como un espacio vectorial sobre sí misma, entonces $\mathbb{R}$ es un espacio vectorial unidimensional, por lo tanto, tiene exactamente un subespacio propio, el espacio vectorial 0, que es trivial y poco interesante. Pero si quieres ver operaciones más abstractas que la suma y multiplicación habituales, puedes encontrar todo tipo de formas para que los subconjuntos de $\mathbb{R}$ sean espacios vectoriales.

Ejercicio:

Demuestra que $V = (-1,1) \subset \mathbb{R}$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ donde la suma está definida como $$u \oplus v = \frac{u+v}{1+uv}, \text{para todos } u,v \in V$$ y la multiplicación está definida como $$\alpha \cdot v = \frac{(1+v)^{\alpha} - (1-v)^{\alpha} }{(1+v)^{\alpha} + (1-v)^{\alpha} } \text{para todos } v \in V, \alpha \in \mathbb{R}.$$

No es difícil, simplemente se reduce a manipulación de símbolos, comprobar que se cumplen los axiomas de un espacio vectorial. Pero las preguntas interesantes, una vez que sabemos que esto es un espacio vectorial, son preguntas como ¿cuál es la base? ¿Cuál es la dimensión? ¿Cuáles son las transformaciones lineales?

Answer 3

La división por escalares es igual a la multiplicación por el inverso de ese escalar. Para garantizar que exista el inverso de cualquier escalar, necesitamos la suposición de un campo.