¿Hay algún ejemplo *simple* de cómo el axioma de elección puede llevar a un resultado contraintuitivo?

Question

Esta pregunta es bastante subjetiva, pero ahí va:

El axioma de elección conduce notoriamente a muchos resultados extremadamente contraintuitivos, como las paradojas de Hausdorff, Von Neumann y (la más famosa) de Banach-Tarski. Desgraciadamente, la demostración de estas paradojas es también notoriamente complicada, y no es en absoluto evidente por qué un axioma tan aparentemente inocuo (y, de hecho, obvio) como el axioma de elección tiene consecuencias tan extrañas.

¿Existen ejemplos de una simple ¿la cadena de razonamiento que lleva desde el axioma de elección a un resultado contraintuitivo? (Aunque no sea necesariamente un resultado como espectacularmente contraintuitivo como la paradoja de Banach-Tarski). ¿Una que sea lo suficientemente sencilla como para que alguien sin formación en matemáticas avanzadas pueda entender el tren general de la lógica (con quizás algunos pasos amañados)? Nunca he visto un ejemplo que me permita entender por qué la intuición ingenua "se equivoca" exactamente en el paso en el que usamos el axioma de elección.

(Para que quede claro: no estoy buscando un simple resultado contraintuitivo que se desprenda del axioma de elección - Banach-Tarksi cumpliría ese requisito. En cambio, estoy buscando un resultado contraintuitivo que se derive del axioma de elección con un (relativamente) simple prueba .)

Answer 1

Los resultados intuitivos y contraintuitivos son complicados, como has dicho, es algo subjetivo.

Permíteme que intente darte un ejemplo, una solución discontinua de la ecuación funcional de Cauchy. A saber, una función $f\colon\Bbb{R\to R}$ satisfaciendo $f(x+y)=f(x)+f(y)$ .

No es difícil ver que dicha función es necesariamente $\Bbb Q$ -lineal, por lo que hay que empezar con una base de Hamel para $\Bbb R$ en $\Bbb Q$ Ahora escoge cualquier permutación de la base, y extiéndela a un automorfismo lineal. Como cambiaste dos elementos de la base, no obtuviste una multiplicación escalar, por lo que obtuviste una función que no es continua ni siquiera medible.

La última frase también muestra que la elección es necesaria, ya que es coherente con el fracaso de la elección que todos $\Bbb Q$ -Las funciones lineales son medibles, lo que implica que son continuas, lo que implica que son multiplicaciones escalares.

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Hay dos cuestiones aquí: el axioma de elección nos permite ir "fuera de la estructura", y los conjuntos infinitos son raros.

¿Fuera de la estructura?

Uno de los argumentos de que la elección no es constructiva es que el axioma de la elección no te dice cómo para obtener una función de elección, sólo te dice que dicha función existe. Pero como no estamos limitados a una construcción específica, ni a restricciones, ni a nada, esta función no tiene que obedecer a ninguna regla.

Desde un punto de vista más centrado en la categoría, se puede demostrar que el axioma de elección no se cumple para $\bf Ab$ o $\bf Grp$ porque no todos los epimorfismos se dividen en estas categorías (ejemplo, $\Bbb R\to\Bbb{R/Q}$ ).

Pero a la teoría de conjuntos no le importa. La teoría de conjuntos ignora la estructura. Hay una función, y su rango es un conjunto, y tenemos que lidiar con el hecho de que esto puede ser contraintuitivo y llevar a cosas como la paradoja de Banach-Tarski o que exista un conjunto de Vitali, porque una vez que tienes un conjunto (de representantes), el resto son cosas que puedes hacer a mano.

Así pues, el axioma de elección, al permitirnos dividir las proyecciones, crea conjuntos que van en contra de nuestra comprensión de una determinada "estructura". Pero, por supuesto, esto no es culpa del axioma de elección. Es culpa nuestra, por no entender las interacciones (o la falta de ellas) entre "estructura" y "conjuntos" en general.

Los conjuntos infinitos son weiiiiirrrrrdddd ¡!

La segunda razón de muchas de las paradojas es que los conjuntos infinitos son raros. Mira el grupo libre con dos generadores, $F_2$ . Se habría esperado que tuviera un subgrupo generado por tres ¿Generadores? Por infinitamente muchos ? No, eso no tiene sentido. Y sin embargo, esto es cierto. $F_2$ tiene una copia de $F_\infty$ y, por tanto, de $F_n$ para todos $n$ .

O, por ejemplo, ¿podría esperar $\Bbb Q$ para ser homeomorfo a $\Bbb Q^2$ ? Eso también es raro.

Pero estas cosas ni siquiera tienen que ver con el axioma de la elección. Tienen que ver con el hecho de que somos finitos, y estos conjuntos no lo son. Y basamos nuestra intuición ingenua en conjuntos finitos, y entonces falla. Así que lo arreglamos, pero seguimos basando nuestra intuición en conjuntos que "esperábamos que fueran lo suficientemente buenos" (de ahí la ubicuidad de los términos "regular" y "normal"), pero estos también nos fallan.

Lo que es realmente divertido es que cuando el axioma de la elección falla, y se observan esos contraejemplos extremos (por ejemplo, los conjuntos amorfos), entonces éstos parecen aún más extraños porque la elección está de hecho muy arraigada en nuestra intuición.

¿Resumiendo?

El axioma de la elección no es realmente culpable aquí. Nos permite demostrar la existencia de conjuntos que están fuera de nuestra intuición, porque nuestra intuición está perfeccionada para entender una estructura determinada (por ejemplo, estructuras topológicas, estructuras de grupo, etc.), y no ayuda cuando la infinitud de los conjuntos nos permite estirarlos y doblarlos de todo tipo de maneras para crear cosas raras como la paradoja de Banach-Tarski.

¿Epílogo?

Hay otros dos puntos menores que quiero tocar.

1. Nuestra intuición es una mierda. Solíamos pensar que las funciones son "más o menos continuas", luego aprendimos que en realidad casi ninguna es continua. Luego pensamos que casi todas las funciones continuas son diferenciables, pero después aprendimos que casi ninguna lo es... y ya ves por dónde va esta tendencia.

   Si uno se remonta en la historia se encuentra con la física o con cosas físicas en muchos casos. Y la física trata de fenómenos, de cosas que podemos ver y medir, que automáticamente asumimos que son continuas y que "tienen una especie de sentido". Pero el mundo matemático, tal y como lo tenemos en la era posmoderna, tiene mucho más que ofrecer, y eso choca en cierto modo con las raíces, y a veces con la intuición que llevamos de las motivaciones originales.

2. El axioma de la elección no tiene realmente la culpa. Si se niega la paradoja de Banach-Tarski y se exige que todos los conjuntos de reales sean medibles por Lebesgue, entonces se pueden dividir los números reales en más partes no vacías que elementos. Esto es una locura. Y no es por el axioma de elección, que está fuera de la ventana aquí. Es porque los conjuntos infinitos son raros.

¿Y qué viene ahora? Luego viene la comprensión fatalista de que no puedes hacer nada para cambiar esto. A no ser que quieras trabajar en matemáticas constructivas, en cuyo caso te encontrarás con un montón de otros resultados extraños, como conjuntos no vacíos que no tienen elementos.

Answer 2

Es posible que no haya formulado exactamente la pregunta que quiere hacer. Parece que intentas entender exactamente por qué algunas personas se oponen a la CA, pero eso no tiene que ver realmente con los resultados contraintuitivos. En particular, no estoy seguro de que vayas a encontrar una demostración en la que "la intuición ingenua 'se equivoque' exactamente en el paso en el que usamos el axioma de elección", porque creo que en general, eso no es realmente donde su intuición se equivoca, y no es la fuente de la contraintuición del resultado. Es literalmente sólo un coincidencia que algunos resultados contraintuitivos implican la elección en su demostración.

Es un malentendido común (creo) que las objeciones al axioma de elección tienen que ver con que conduce a resultados extraños. Los matemáticos no tienen ningún problema en aceptar resultados contraintuitivos. Los resultados contraintuitivos se dan en todos los casos sin el axioma de elección. El problema es que aceptar el axioma de elección te obliga a adoptar un punto de vista filosófico muy cuestionable sobre lo que significa "existir".

Ahora bien, escucha, decir que un objeto matemático "existe" en absoluto es ya algo dudoso. El número cinco no "existe" como existe una mesa o una manzana. Ya estamos estirando la definición del verbo "existir" sólo por hacer aritmética y geometría, pero al menos puedo imagina un objeto como un número o un círculo. Existen en mi mente, si no hay nada más, o puedo describirlos o incluso escribir una fórmula para ellos.

Pero ahora llegamos a un conjunto como el Conjunto Vitali . La construcción del conjunto Vitali y la conclusión de que su longitud es simultáneamente nula y no nula (o más exactamente, que no tiene un concepto razonable de longitud) es definitivamente sencilla, aunque no sé si la existencia de conjuntos no medibles es exactamente contraintuitiva. La cuestión es, sin embargo, pensar en cómo demuestro que este conjunto "existe". Todo lo que hago es, después de dividir el número real en una familia disjunta de "polvos", utilizar la elección para tomar un punto de cada conjunto.

No puedo decir un solo número del conjunto Vitali. Si me das un número, no puedo decir si está en el conjunto Vitali o no. ¿Quieres una foto? Olvídelo. ¿Una fórmula? Ni hablar. Ni siquiera puedo imaginar el conjunto Vitali en mi cabeza. A estas alturas parece que no tengo excusa para usar la palabra "existe".

La razón por la que esto ocurrió es porque AC me permite afirmar que algo existe sin tener que describirlo explícitamente. Esto es realmente lo que la gente (solía) objetar en AC.

Answer 3

Yo diría que el ejemplo más fácil sería la construcción de conjuntos Vitali. Supongo que ya lo entiendes, pero así es como podría explicárselo a un alumno de 12º curso.

Comience con el concepto ingenuo de longitud, empezando por la de un intervalo, y las nociones comunes de que romper o desplazar un intervalo no cambia su longitud, que las longitudes de una colección finita de intervalos disjuntos se suman, y que esto se extiende a una secuencia contable de intervalos disjuntos cuando su suma converge. Subraye aquí que los números reales no son contables. Señale que, dado que todas estas longitudes son no negativas, los términos de dicha secuencia pueden reordenarse libremente y que, por tanto, todo esto es válido para cualquier conjunto de números reales que pueda construirse a partir de una colección contable de intervalos. A partir de esto se sugiere tranquilamente, como podría dictar la intuición, que esto puede extenderse a cualquier conjunto de reales. Todo esto es suficientemente intuitivo.

Ahora, señale que dos números irracionales que tienen una diferencia racional es una relación de equivalencia, y así produce clases de equivalencia. Considere estas clases de equivalencia restringidas a $[0,1)$ . Aplicar el axioma de elección para obtener un conjunto de un número de cada clase de equivalencia. Señale que si se desplaza en un número racional, se corta la parte que está fuera del intervalo y se vuelve a desplazar al otro extremo, se obtendrá un conjunto que debe tener la misma longitud. Demostrar que aplicando esto para todos los números racionales de ese intervalo se generará una partición.

Así que ahora tienes un conjunto de longitud uno dividido en una colección contablemente infinita de conjuntos de la misma longitud. Esa longitud no puede ser cero, ya que la colección es contable, pero tampoco puede ser mayor que cero, ya que eso daría a su unión una longitud infinita. Por lo tanto, el axioma de elección permite construir conjuntos de números reales que no tienen longitud.