Problema:
Un vértice de un cuadrado está vinculado al centro de idéntica cuadrados, y el área de superposición es azul. Una de las plazas es entonces girado sobre el vértice y el resultado de la superposición es de color rojo.
Que el área es mayor?
Deje que el área de cada cuadrado grande ser exactamente $1$ unidad cuadrada. Entonces, el área del cuadrado azul es exactamente $1/4$ unidades al cuadrado. Lo mismo sería aplicable a la zona roja, si se va a girar el cuadrado de $k\cdot 45$ grados para un número natural $k$.
Por lo tanto, estoy asumiendo que no hay un área mayor, y que es una pregunta capciosa $-$, aunque la zona roja, que podría parecer mayor que el de la zona azul, que sigue siendo el mismo: $1/4$.
Pero ¿cómo puede ser probado?
Sé el área de un triángulo con una base de $b$ y una altura de $h\perp b$$bh\div 2$. Desde el área de cada cuadrado es exactamente $1$ unidad de cuadrados, cada uno de los lados también tendría una longitud de $1$.
Por lo tanto, la altura de la red en el área del triángulo es $1/2$, y por lo $$\text{Red Area} = \frac{b\left(\frac 12\right)}{2} = \frac{b}{4}.$$
Según el diagrama, la plaza no ha girado una completa $45$ grados, por lo $b < 1$. De ello se sigue, entonces, que el $$\begin{align} \text{Red Area} &< \frac 14 \\ \Leftrightarrow \text{Red Area} &< \text{Blue Area}.\end{align}$$
Afirmación:
Para concluir, el $\color{blue}{\text{blue}}$ área es mayor que el $\color{red}{\text{red}}$ área.
¿Es esto cierto? Si es así, ¿hay otra manera de probar que la afirmación?
Gracias a los usuarios que comentaron abajo, yo no tenía en cuenta el hecho de que la zona roja es no un triángulo $-$ no tiene tres lados! Ahora, esto nos lleva de nuevo a mi pregunta original sobre si mi hipótesis era la correcta.
Esta pregunta es muy similar a la de este post.
Fuente:
La Proporción áurea (¿por qué es tan irracional) $-$ Numberphile de $14$:$02$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Tenga en cuenta que para la igualdad de los ángulos $\angle A'OB' = \angle AOB = 90^\circ$, cuando restamos una parte común $\angle A'OB$ desde ambos lados, tenemos $\angle AOA' = \angle BOB'$, por lo que el cian y rojo los triángulos son congruentes: $\triangle AOA' \sim \triangle BOB'$.
Eso implica que sus áreas son iguales, y cuando añadimos una parte común $\triangle A'OB$ obtenemos el área de la $AOB$ triángulo igual al área de la $A'OB'B$ cuadrilátero. Finalmente, el área de las dos plazas " parte común es constante, independiente de la plaza del ángulo de rotación.
Las dos áreas son iguales. En el diagrama con la zona roja de dibujar las líneas verticales y horizontales que definen la zona azul. La red dispone de una zona triangular de la región agregada a la izquierda de la zona azul y una región triangular arriba y a la derecha retirado de la zona azul. Los dos triángulos son congruentes.
Por la fijación de una plaza del vértice al centro de la otra, usted garantiza a 90 grados de la rebanada hacia el exterior. Esto significa que podríamos azulejo 4 rebanadas perfectamente. Un cuadrado tiene simetría rotacional de n=4. Dado que el número de rotación es un múltiplo entero de que el número de sector, la zona es invariante a la rotación. Se puede aplicar esto en general. Una de 120 grados rebanada de un triángulo equilátero puede ser invariante. Un ángulo de 60 grados trozo de un uniforme de hexágono. 120 grados de trabajo para el hexágono así desde que el 3 rebanadas en un número de rotación de 6.
