¿Por qué es $2^b-1=2^{b-1}+2^{b-2}+...+1$?

Question

Puedo obtener una intuitiva explicación de por qué la fórmula en el título posee?
Sé que funciona, pero no estoy seguro de por qué
$2^b-1=2^{b-1}+2^{b-2}+...+1$

Answer 1

Considerar el número de $N=2^{b-1}+2^{b-2}+\dots+2^2+2^1+2^0$. Ahora echemos un vistazo a $N+1$: $$N+1 = 2^{b-1}+2^{b-2}+\dots+2^2+2^1+2^0+2^0\\ =2^{b-1}+2^{b-2}+\dots+2^2+2^1+2^1\\ =2^{b-1}+2^{b-2}+\dots+2^2+2^2\\ \vdots\\ =2^{b-1}+2^{b-2}+2^{b-2}\\ =2^{b-1}+2^{b-1}\\ =2^b$$ (desde $2^k+2^k=2^{k+1}$ cualquier $k$), por lo $N=2^b-1$.

Answer 2

Considere la posibilidad de la representación binaria y es claro.

$$111\cdots 1_2 + 1_2 = 1000\cdots 0_2$$ así $$1000\cdots 0_2 - 1_2 = 111\cdots 1_2$$ Pero el LHS es $2^b-1$ y el lado derecho es $2^0 +2^1 +\cdots + 2^{b-1}$.

Es sólo el binario manera de decir lo que en decimal es (por ejemplo) $$10000-1=9999$$

Answer 3

Un pack de $2^b$ bolas se puede dividir en dos paquetes de $2^{b-1}$. El segundo pack puede ser dividido en dos paquetes de $2^{b-2}$, etc. Vaya hasta que haya dos paquetes de una bola de cada uno.

Answer 4

Vamos $$S = 2^{b-1} + 2^{b-2} + \ldots + 1.$$

Multiplicando por $2$, se obtiene $$2S = 2^b + 2^{b-1} + \ldots + 2.$$

Ahora, aquí está mi sugerencia:

SUGERENCIA de Lo que recibe (en el RHS) después de restar la primera expresión para $S$ a partir de la segunda expresión para $2S$?

Answer 5

Usted puede visualizar al mirar esta identidad como identidad de polinomios: $$ (1-x)(1+x)=1-x^2 $$ $$ (1-x)(1+x+x^2)=1-x^3 $$ y, en general, $$ (1-x)(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{n-1})=1-x^n $$ Now on substituting $x=2$, obtenemos el resultado deseado. Espero que ayude.