$\sigma^4=\operatorname{id}$ $\sigma^3(\alpha)+\sigma(\alpha)=\sigma^2(\alpha)+\alpha$ entonces $\sigma^2=\operatorname{id}$

Question

Deje $\sigma$ un automorphism de un campo de $F$ tal que $\sigma^4=\operatorname{id}$ y para todos $\alpha\in F$ $$\sigma^3(\alpha)+\sigma(\alpha)=\sigma^2(\alpha)+\alpha.$$

Mostrar que $\sigma^2=\operatorname{id}$.

He probado muchas horas. No tengo idea de cual es el truco.

Answer 1

Artin del Lema de la independencia lineal de los personajes dice que un conjunto de caracteres distintos es linealmente independiente. La ecuación dada manifiestamente los estados que los automorfismos $\sigma^i,i=0,1,2,3,$ son linealmente dependientes. Por tanto, no pueden ser todas diferentes. Por lo tanto el orden de $\sigma$ es estrictamente menor que $4$. Por otro lado, la orden debe ser un factor de cuatro. Por lo tanto, es un factor de dos.

Answer 2

Ahora que una buena solución ha sido dado, permítanme darles una solución directa, al menos cuando char. F $\neq 2$.

Como Jim observó en los comentarios, el mínimo de poli. de $\sigma$ divide $(X-1)(X^2 + 1)$.

Supongamos ahora que el char. $\neq 2$. A continuación, $X - 1$ $X^2 + 1$ son coprime, y así podemos descomponer $F$ en la suma directa de un espacio donde $\sigma = 1$ (el campo fijo de $\sigma$) y de un espacio donde $\sigma^2 + 1 = 0$.

Desde el mcd. de $(X^2 -1)$ $(X-1)(X^2 +1)$ es igual a $X-1$, también ver que el campo fijo de $\sigma^2$ es igual a la de campo fijo de $\sigma$.

Ahora si $\alpha$ se encuentra en el espacio donde$\sigma^2 + 1 = 0$, $\sigma^2(\alpha^2) = (\sigma^2(\alpha))^2 = (-\alpha)^2 = \alpha^2,$ $\alpha^2$ se fija por $\sigma^2$. Así, en el anterior comentario es fijado por $\sigma$, es decir,$\sigma(\alpha)^2 = \sigma(\alpha^2) = \alpha^2$. Pero, a continuación,$\sigma(\alpha) = \pm \alpha$. Por lo tanto $\sigma^2 - 1$ también actúa por cero en el espacio donde se $\sigma^2 + 1$ hechos por cero. La única manera en que esto es posible es que si este espacio sí mismo es igual a cero, es decir, si $F = F^{\sigma}$.

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Este argumento no es tan diferente del argumento general a través de la independencia de los caracteres. El hecho clave que hemos utilizado, más allá de la general de álgebra lineal, es que $\sigma(\alpha^2) = \sigma(\alpha)^2$, lo que nos permite producir nuevos valores propios de la edad. Más precisamente, en el espacio donde se $\sigma^2 + 1 = 0,$ los valores propios son $\pm i$. Así que si $\alpha$ es un autovector de uno de estos autovalores, a continuación, $\alpha^2$ es un autovector con autovalor $-1$. Pero este autovalor no está permitido. Por lo tanto $\pm i$ no puede aparecer como valores propios, después de todo. (En el argumento real de arriba, yo no discutí con autovalores porque $F$ no puede contener $4$th raíces de la unidad. Pero este autovalor de cálculo es lo que está detrás del argumento, y está estrechamente relacionada con la a la independencia de caracteres).