Dado $z$ , dejemos que $\mathcal{B}_z$ sea el conjunto de índices $b$ para lo cual $\beta_b = z$ . Entonces $\beta_A = z$ precisamente cuando la primera variable de Poisson que tiene el valor $s$ tiene un índice que pertenece al conjunto $\mathcal{B}_z$ Es decir,
$$ P(\beta_A = z) = P(A \in \mathcal{B}_z) = \sum_{b \in \mathcal{B}_z} P(A = b),$$
donde la segunda igualdad se mantiene ya que los eventos $\{ A = b \}$ son mutuamente excluyentes para $b \in \mathcal{B}_z$ . Entonces, $A = b$ si y sólo si el primer $b - 1$ Las variables de Poisson no son iguales $s$ pero el $b$ que uno lo hace, $P(A = b) = P((S_1 \neq s) \cap \cdots \cap (S_{b-1} \neq s) \cap (S_b = s)) $ . Si estás dispuesto a suponer que las variables de Poisson son independientes, esto se puede factorizar aún más y la probabilidad deseada adquiere la forma
\begin{align} P(\beta_A = z) &= \sum_{b \in \mathcal{B}_z} \left( \prod_{i=1}^{b-1} P(S_i \neq s) \right) P(S_b = s) \\ &= \sum_{b \in \mathcal{B}_z} \left( \prod_{i=1}^{b-1} \left( \sum_{j \neq s}^\infty \frac{\beta_i^j}{j!} e^{-\beta_i} \right) \right) \frac{\beta_b^s}{s!} e^{-\beta_b}, \end{align}
que en realidad se define para todos los $z \in \mathbb{R}$ como si $\mathcal{B}_z = \emptyset$ terminamos con una suma vacía que es igual a cero.
