el cierre de la imagen inversa es un subconjunto de la imagen inversa del cierre, dado que $f$ es continua

Question

Sea $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función continua. Demuestre entonces que $$ \overline{f^{-1}(X)} \subset f^{-1} (\overline{X}) $$ para cada $X \subset \mathbb{R}$ .

Intento de prueba: Sea $a \in \overline{f^{-1}(X)}$ ser arbitraria. Entonces por definición tenemos $\forall \delta > 0$ que $$ ] a - \delta, a + \delta [ \cap f^{-1}(X) \neq \emptyset. $$ Sea $x$ sea un elemento de esta intersección. Por lo tanto $x \in ]a - \delta, a + \delta [ $ y $x \in f^{-1}(X)$ . De ello se deduce que $f(x) \in X$ . Porque $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua $a$ podemos encontrar $\forall \epsilon > 0$ a $\delta > 0$ tal que $\forall x \in \mathbb{R}$ sostiene que $$ | f(x) - f(a) | < \epsilon $$ si $| x - a | < \delta$ . Ahora tenemos $$f^{-1} (\overline{X}) = \left\{a \in \overline{X} \mid f(a) \in f(\overline{X}) \right\}. $$ Esto significa que tengo que demostrar que $a \in \overline{X}$ y luego demostrar que $f(a) \in f(\overline{X})$ . Esta es la parte en la que estoy atascado.

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

$\overline{X}$ es un conjunto cerrado y $f$ es una función continua. En consecuencia $f^{-1}(\overline{X})$ es un conjunto cerrado. Contiene $f^{-1}(X)$ y, al ser cerrado, contiene también el cierre de $f^{-1}(X)$ .

Answer 2

Termino tu idea:

Sea $a \in \overline{f^{-1}(X)}$ sea arbitraria. Entonces por definición tenemos $\forall \delta > 0$ que $$ ] a - \delta, a + \delta [ \cap f^{-1}(X) \neq \emptyset. $$ Sea $\delta_n=\frac{1}{n}$ y $x_n$ sea un elemento de la intersección $]a-\delta_n,a+\delta_n[\cap f^{-1}(X)$ . Así $x_n \in ]a - \delta_n, a + \delta_n [ $ y $x_n \in f^{-1}(X)$ . De ello se deduce que $f(x_n) \in X\subset \overline X$ . Porque $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $a$ y $x_n\to a\Rightarrow f(x_n)\to f(a)$ . Pero como $\{f(x_n)\}\subset \overline X$ entonces su límite también está en $\overline X$ es decir $f(a)\in\overline X$ lo que significa que $a\in f^{-1}(\overline X)$ .