Cómo mostrar que $BV[0,1]$ ( el espacio de todas las funciones en $[0,1]$ de variación acotada ) no está completo bajo supremum norma?

Question

Cómo mostrar que $BV[0,1]$ ( el conjunto de todas las funciones de variación acotada ) no está completo bajo supremum norma , por construir explícitamente una secuencia de Cauchy que no converge o mediante la construcción de una secuencia en la $BV[0,1]$ que converge en el sup-norma en $B[0,1]$ ( el espacio de todos los delimitadas las funciones ), pero fuera de $BV[0,1]$ ? ¿Hay alguna otra manera de mostrar $(BV[0,1],||.||_{\infty})$ no es completa ? Por favor, ayudar . Gracias de antemano

Answer 1

Cada polinomio se ha acotado la variación. No toda función continua en $[0,1]$ se ha acotado la variación. Por el teorema de Weierstrass, el cierre del espacio de polinomios bajo el supremum de la norma es el espacio de todas las funciones continuas.