Hay una ecuación que relaciona la energía $E$, el momento angular de $L$) y otros (constantes y variables para encontrar $\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2$ en un avión. $$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=\frac{E^2}{m^2c^2}-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)\left(c^2+\frac{L^2}{m^2r^2}\right)$$ Por eso, $\frac{dr}{d\tau}$ es: $$\frac{dr}{d\tau}=\pm\sqrt{\frac{E^2}{m^2c^2}-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)\left(c^2+\frac{L^2}{m^2r^2}\right)}$$ Así, que firman debo usar? Hay un método para encontrar el signo es para ser utilizada? Tal vez, si $|d\phi|$ es creciente, por lo $r$ está disminuyendo y, a continuación, $dr$ es negativo, y viceversa. Pero no sé cuánto de esto es cierto, especialmente cerca del horizonte de sucesos.
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Sandeep
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Para determinar de una geodésica que usted tiene que fijar su punto inicial y el primer vector tangente todo a $t=0$. Siempre podemos asumir $\theta_0 = \pi/2$, mientras que el $\phi_0$, e $r_0$ son arbitrarias. Seguramente $d\theta/dt|_0=0$, $dt/dt|_0=1$, mientras que $d\phi/dt|_0= \dot{\phi}_0$ $dr/dt|_{0}= \dot{r}_0$ son arbitrarias.
El uso de estos valores se determinan los valores de $L^2$$E^2$, que al ser constante, que puede determinarse con los datos en $t=0$. Por lo $E^2$ $L^2$ son conocidos. Por lo tanto, hasta el signo, el lado derecho de
$$\frac{dr}{d\tau}=\pm\sqrt{\frac{E^2}{m^2c^2}-\left(1-\frac{2GM}{c^2r}\right)\left(c^2+\frac{L^2}{m^2r^2}\right)}\qquad (1)$$
se sabe ya de una vez de fijar las condiciones iniciales. A menos $\dot{r}_0=0$, que tiene un signo. Esta es la señal de que usted tiene que elegir en (1), ya que, por continuidad (y la que se considera las funciones se $C^2$ al menos) el signo no cambia alrededor de $t=0$.
Si asumimos $\dot{r}_0=0$, el signo está determinado por el resto de condiciones iniciales con un análisis más profundo.
