demostrar que $xyz\in N$ si $x^n+y^n+z^n\in Z$

Question

Dejemos que $x,y,z\in R$ y así para cualquier entero positivo $n$ tienen $$a_{n}=x^n+y^n+z^n\in Z$$ demostrar que $xyz\in Z$

He utilizado $$a_{n+3}=(x+y+z)a_{n+2}-(xy+yz+xz)a_{n+1}+xyza_{n}$$

desde $2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\in Z$ pero $xy+yz+xz$ no pueden ser enteros, porque $2(xy+yz+xz)$ son números enteros

Answer 1

$2(xy+xz+yz)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)\in\mathbb Z$ y como $$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y+z)(xy+xz+yz)-3xyz,$$ vemos que $6xyz\in\mathbb Z$ .

Ahora, $$x^4+y^4+z^4=$$ $$=(x+y+z)^4-4(x+y+z)^2(xy+xz+yz)+2(xy+xz+yz)^2+4(x+y+z)xyz$$ o $$3(x^4+y^4+z^4)=$$ $$=3(x+y+z)^4-12(x+y+z)^2(xy+xz+yz)+6(xy+xz+yz)^2+12(x+y+z)xyz,$$ que dice $6(xy+xz+yz)^2\in\mathbb Z$ y desde aquí $xy+xz+yz\in\mathbb Z$ .

Así, $3xyz\in\mathbb Z$ y $4(x+y+z)xyz\in\mathbb Z$ .

Dejemos que $xyz\in\mathbb Z$ se equivoca.

Entonces $x+y+z$ dividido por $3$ .

Pero $$x^5+y^5+z^5=$$ $$=(x+y+z)^5-5(x+y+z)^3(xy+xz+yz)+5(x+y+z)(xy+xz+yz)^2+$$ $$+5((x+y+z)^2-(xy+xz+yz))xyz,$$ que dice que $5((x+y+z)^2-(xy+xz+yz))xyz\in\mathbb Z$ ,

que da $xy+xz+yz$ dividido por $3$ .

Ahora, desde $$x^6+y^6+z^6=$$ $$=(x+y+z)^6-6(x+y+z)^4(xy+xz+yz)+9(x+y+z)^2(xy+xz+yz)^2-$$ $$-2(xy+xz+yz)^3+(6(x+y+z)^3-4(x+y+z)(xy+xz+yz))xyz+3x^2y^2z^2$$ obtenemos $3x^2y^2z^2\in\mathbb Z$ , lo cual es una contradicción.

Así, $xyz\in\mathbb Z$ ¡y hemos terminado!

Answer 2

He aquí un enfoque que utiliza la teoría algebraica de los números:

Lema. $\{x_i\}_{i=1}^{m}$ son números complejos tales que $\sum_i x_i^k$ son enteros para cada $k \in \Bbb N^{*}$ entonces $x_i$ son todos enteros algebraicos.

La prueba: En primer lugar, por la identidad de Newton sabemos que $x_i$ son todos números algebraicos. ( $\sum_i x_i^k$ $\in \Bbb Z ,\forall k \Rightarrow \sigma_k(x_i) \in \Bbb Q $ , $\forall k$ , donde $\sigma_k$ es el k-ésimo polinomio simétrico elemental).

Elija un campo numérico $K$ contiene todos los $x_i$ para toda valoración prima v sobre K, tenemos $|\sum_i x_i^k|_v \leq 1, \forall k$ como $\sum_i x_i^k$ son enteros algebraicos.

Considere $ f(t)=\sum_{i=1}^m\frac{1}{1-t{x_i}}$ en $\Bbb C_p$ , donde $p$ es la restricción de $v$ a $\Bbb Q$ . Converge para $|t|_v<1$ por encima de los estimientos $|\sum_i x_i^k|_v \leq 1, \forall k$ por lo que no tiene polos en el disco $\{t \in \Bbb C_p ||t|_v<1\}$ Por lo tanto $|x_i|_v \leq 1, \forall i=1,\dots,m$

Así que $x_i \in \bigcap_{v} O_{K_v}$ Por lo tanto, debe estar en $O_K$ .

En resumen, mostramos $x_i$ son todos enteros algebraicos.

Vuelve a tu pregunta: Por la identidad de Newton sabemos que $\prod_{i}x_i \in \mathbb Q$ pero $x_i \in O_K$ Así que $\prod_{i}x_i \in \mathbb Q \cap O_K= \mathbb Z$ . Lo mismo ocurre con otros polinomios simétricos elementales.