Deje $f: (X,\tau_X) \to (Y,\tau_Y), x\in X$$v\subseteq X$;
Demostrar: Si $(\exists V $ barrio de $ x)(f_{\mid V}:V\to Y$ es continua
en a $x$), a continuación, $f$ es continua en a $x$.
Llego un poco atascado en la siguiente prueba, podría alguien dar una sugerencia?
Prueba:
Deje $U$ ser un barrio de $f(x)$, quiero demostrar que la $f^{-1}(U)$ es un barrio de $x$. Esto es cierto si $(\exists \tilde{W} \in \tau_X)(x\in \tilde{W} \subseteq f^{-1}(U))$. En la prueba que se busca un $\tilde{W}$.
Considere la posibilidad de la $U$ por encima como un barrio de $f_{\mid V} = f(x)$. Desde $f_{\mid V}$ es continua $f^{-1}_{\mid V}(U)$ es un barrio de $x$.
Por lo tanto $(\exists W\in \tau_\color{red}{V})(x\in W\subseteq f^{-1}_{\mid V} (U))$.
No puedo usar esta $W$ $\tilde W$ desde el anterior implica
$$x\in A\cap V\subseteq f^{-1}(U)\cap V \qquad \text{where}\quad A\in \tau_X$$
Que no sea el resultado en $x\in A\subseteq f^{-1}(U)$ como se indica en la imagen. Creo que el mayor problema radica en el hecho de que estoy usando la topología relativa $\tau_\color{red}{V}$, pero ¿cómo puedo resolver esto?
editar:
Acabo de notar que el teorema de los estados $f_{\mid V}:V\to Y$ es continua (en lugar de continua en $x$)
