" $f^\prime (c) = \lim_{n \to \infty} f^\prime (x_n)$ " no implica la continuidad.

Question

Pregunta: Supongamos que $f : [a,b] \rightarrow R$ es una variable y $c \in [a,b]$ . Entonces demuestre que existe una secuencia $\{x_n\}$ convergiendo a $c$ , $x_n \not = c$ para todos $n$ , de tal manera que $f^\prime (c) = \lim_{n \to \infty} f^\prime (x_n)$ . Tenga en cuenta que esto no implica que $f^\prime$ es continua (¿por qué?).

Intento: Deja $x_n \in [a,b]$ Entonces, $f(x_n)$ es diferenciable. Entonces, $f^\prime (c) = f^\prime(\lim_{n \to \infty}x_n)=\lim_{n \to \infty}f^\prime(x_n)$ .

No entiendo por qué esto no implica continuidad porque si $f(c)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)$ , $f$ es continua en $c$ . ¿No es el caso de la función derivada?

Gracias de antemano.

Edición: Estoy de acuerdo en que mi intento anterior supone que $f^\prime$ es continua, lo que podría no ser cierto. Entonces, ¿podríais darme alguna pista para resolver este problema sin usar esa suposición?

Dejemos que $x_n \in [a,b]$ . Entonces, $f(x_n)$ es diferenciable. Entonces, $\lim_{x_n \to c} \frac {f(x_n)-f(c)}{x_n-c}=f^\prime (c)$ No sé cómo proceder a partir de aquí.

Answer 1

Para $f(x)=x^{2}\cos(1/x)$ , $x\ne 0$ , $f(0)=0$ entonces $f'(0)=0$ y $f'(x)=2x\cos(1/x)+\sin(1/x)$ y $f'$ no es continua en $x=0$ . Todavía, $f'(x_{n})\rightarrow 0$ para $x_{n}=\dfrac{1}{2\pi n}$ .

Answer 2

Su prueba es defectuosa, ya que pasa por asumir que $f'$ es continua en $c$ cuando escribes:

$$ f'(c) = f(\lim_{n\to\infty} x_n) $$ para (cualquier) secuencia $x_n)_n$ convergiendo a $c$ .

Pero $f'$ puede no sea continua en $c$ Esa es la cuestión.

Para demostrar la afirmación (que es "hay existe una secuencia $(x_n)_n$ y, sobre todo, no "para cada secuencia $(x_n)_n$ "ya que la primera equivaldría a la continuidad de $f'$ ), puede utilizar el teorema del valor medio . (Y nótese que el MVT sólo pide diferenciabilidad, no que $f$ sea continuamente diferenciable).

En efecto, por la MVT tenemos que para cada $n\geq 1$ existe $x_n \in (c, c+\frac{1}{n})$ tal que $$ f'(x_n) = \frac{f(c+\frac{1}{n})-f(c)}{\frac{1}{n}}\,. $$ Pero ahora, por la propia definición de $f'(c)$ tenemos $$ f'(c) = \lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} $$ así que en particular $$ f'(c) = \lim_{n\to\infty} \frac{f(c+\frac{1}{n})-f(c)}{\frac{1}{n}}\,. $$