¿La propiedad del producto cero mantenga en espacios vectoriales?

Question

Supongamos $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $F$. Deje $v \in V\setminus \{0\}$$\lambda \in F$. Qué $\lambda v= 0$ implican $\lambda = 0$?

Answer 1

Por supuesto, si $\lambda \ne 0$ existe $\lambda ^{-1}$ $$v = \lambda ^{-1}\cdot (\lambda v) = \lambda ^{-1}(0) =0$$ Una contradicción, por lo $\lambda =0$.