Finito Suma de los Factoriales fraccionados de la Serie

Question

Hay una solución de forma cerrada para la siguiente serie? (Sin Utilizar La Función Gamma): $$ S=\sum _{i=1}^{n-1} \frac{1}{(i+1)!} $$

Answer 1

Tenga en cuenta que $$n!\,e=\sum_{k=0}^\infty\frac{n!}{k!}=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}+\sum_{k=n+1}^\infty\frac{n!}{k!}$$ La primera suma en el lado derecho es siempre un número entero desde $n\geq k$. La segunda suma satisface $$\begin{align} \sum_{k=n+1}^\infty\frac{n!}{k!} &=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\cdots\\ &<\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+1)}+\frac{1}{(n+1) (n+1)(n+1)}+\cdots\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(n+1)^k}\\ &= \frac{1}{n}\\ &\leq1 \end{align}$$ al $n\geq1$. Por lo tanto, tenemos $$\lfloor n!\,e\rfloor=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!}\\ \implica \frac{\lfloor n!\,e\rfloor}{n!}=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}\\ \implica \frac{\lfloor n!\,e\rfloor}{n!}-2=\sum _{k=1}^{n-1} \frac{1} {k(k+1)!} $$

Answer 2

Vamos a reescribir esto como $\;\displaystyle S=\sum _{j=0}^{n} \frac{1}{j!}-2\;$ demostrar que $$\sum _{j=0}^{n} \frac{1}{j!}=\frac{\lfloor e\; n!\rfloor}{n!}$$